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Injektiv bzw. surjektiv funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

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13:45 Uhr, 01.11.2015

Hallo Leute. Kann jemand mir mit diese Beispiel helfen?

Es sei

f : R \to R; -

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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13:55 Uhr, 01.11.2015

Wenn du Probleme mit der Darstellung haben solltest, kannst du oben auf "Wie schreibt man Formeln?" klicken oder du schreibst es irgendwie mit Klammern, sodass wir es noch verstehen können. Aktuell kann dir wohl keiner helfen.

Außerdem wäre es dann schön zu wissen, welches Problem du überhaupt mit der Aufgabe hast.

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14:01 Uhr, 01.11.2015

Hier ist printscreen. Ich kann nur a) und vielleicht b) löschen.

http//2.bp.blogspot.com/-duaPNmcdmEU/VjYNU2tE15I/AAAAAAAAChU/3Wrpj9-FEGM/s1600/Screenshot_4.png

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14:01 Uhr, 01.11.2015

Einen "printscreen" kann ich leider nicht finden.

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14:04 Uhr, 01.11.2015

http//2.bp.blogspot.com/-duaPNmcdmEU/VjYNU2tE15I/AAAAAAAAChU/3Wrpj9-FEGM/s1600/Screenshot_4.png

Ich denke dass diese funktion nicht injektiv und nicht surjektiv ist, ist das genau? Und ich weiss nicht, was ich in c,d und e machen muss.

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14:11 Uhr, 01.11.2015

Warum denkst, du dass die Funktion injektiv und bijektiv ist?

Injektiv ist sie wenn du keine zwei verschiedenen Werte einsetzt und dasselbe Ergebnis erhälst.
Also bspw.

f (x) = x^{2},

du kannst sowohl 2 als auch

- 2

einsetzen und

f (2) = f (- 2) = 4

. Hie rgibt es also zwei verschiedene Werte, diese Funktion wäre also nicht injektiv.
Überlege dir, dass deine Funktion eine klassische quadratische Funktion ist, deren Funktionsgraph eine Parabel ist, können solche Funktionen überhaupt injektiv sein, wenn

ℝ \to ℝ

gilt?

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element aus dem Wertebereich (hier also jede reelle Zahl) angenommen werden muss.
Kannst du über

f,

jede reelle Zahl herleiten oder gibt es vielleicht Zahlen, die du nicht als Ergebnis aus

f

"herausbekommst", egal was du einsetzt?
Nehmen wir wieder das Beispiel von oben. Z. B. gilt nicht

f (x) = - 1

für ein bestimmtes

x,

da für

x \in ℝ

x^{2} \geq 0

ist.
Nun überlege dir ob es auch in deiner Funktion Werte gibt für die das nicht gilt. Zeichne ggf. den Graphen.

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14:13 Uhr, 01.11.2015

Na gut, bist du dir nun sicher, dass die Funktion weder injektiv noch surjektiv ist und kannst du es begründen oder schätzt du es nur?

Leaton aktiv_icon

14:20 Uhr, 01.11.2015

Sorry, das war mein schriftlich Fehler (Ich meine "nicht" injektiv und "nicht" surjektiv).
Ich kann nicht beweisen, dass x1 = x2, deshalb ist funktion injektiv. Aber für surjektiv, weiss ich nicht..

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14:34 Uhr, 01.11.2015

Hast du den Graphen gezeichnet?
Eine Parabel, wie du sie erhalten solltest hat für die entsprechenden Bereiche immer unendlich viele Funktionswerte für die es zwei verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich gibt.
Das heißt ein Polynom zweiten Grades mit

ℝ \to ℝ

ist nie injektiv.

Oberhalb des Funktionswertes 9 wirst du in deiner Zeichnung (aufgrund der Symmetrie) stets zweimal denselben Funktionswert auf dem Graphen ablesenkönnen, bspw. wird der Funktionswert

15

zweimal angenommen:

f (x) = 15 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x + 15 = 15 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x = 0 \Leftrightarrow x (2 x + 7) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0 \land 2 x + 7 = 0 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{7}{2}

Also für

x_{1} = 0

und

x_{2} = - \frac{7}{2}

ist

f (x) = 15,

somit kann

f

schonmal nicht injektiv sein, soweit verstanden?

Nun zur Surjektivität, findest du ein

y \in ℝ,

sodass für jedes beliebige

x \in ℝ

gilt:

f (x) \neq y

?
Also einfach gesagt, kannst du einen Wert finden, den du niemals als Ergebnis "rausbekommst"?
Falls nein, probiere es mit

y = 0

Wenn du das soweit verstanden hast, können wir mal die nächsten Aufgaben betrachten.

Leaton aktiv_icon

14:39 Uhr, 01.11.2015

Ok. I habe verstanden.

Underfaker aktiv_icon

14:49 Uhr, 01.11.2015

Kannst du die Frage beantworten warum

f

nicht surjektiv ist?

Und dann ist die Frage warum du mit den nachfolgenden Aufgaben Probleme hast.

c)

Was bedeutet

f (ℝ)

d) f (x) = b \Leftrightarrow 2 x^{2} + 7 x + 15 = b,

das musst du nun in Abhängigkeit von

b

nach

x

umstellen, bspw. mithilfe der pq-Formel. Es gilt, eine quadratische Gleichung besitzt zwei Lösungen wenn die Diskriminante (also der Inhalt der Wurzel in der Formel)

> 0

ist, genau eine Lösung wenn sie

= 0

ist und keine Lösung, wenn sie

< 0

ist.

e)

Hier musst du nun genau wissen, was bijektiv bedeutet und was du machen musst um die entsprechenden Eigenschaften herzuleiten.

Leaton aktiv_icon

13:29 Uhr, 02.11.2015

Fur surjektiv beweis, kann ich zum Beispiel y=30 benutzen. Dann bekomme ich

http//prntscr.com/8y50cw
.
so x1 und x2 sind komplexe zahlen und es ist nicht surjektiv weil x1,x2 aus R nicht sind. Ist das genau?

Und fur d) Ich habe D = 169 - 8b bekommt. Was jetzt?

ledum aktiv_icon

16:31 Uhr, 02.11.2015

Hallo undertaker,
die fkt heisst

- 2 x^{2} + 7 \cdot x + 15

du hast das - übersehen.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

16:39 Uhr, 02.11.2015

hallo
welche Funktion hast du denn da benutzt?
2. Wenn du in

b)

die Graphik gezeichnet hast kannst du daraus direkt sehen und begründen, warum die fkt nicht surjektiv ist.
Gruß ledum

Underfaker aktiv_icon

22:31 Uhr, 02.11.2015

In der Tat, danke für den Hinweis.
Da die Funktion

f (x) = - 2 x^{2} + 7 x + 15

lautet, hätte es bspw. schon gereicht die Nullstellen zu berechnen. Daran ist zu erkennen, dass

f

nicht injektiv ist.
Nicht surjektiv stimmt natürlich mit dem von dir vorgeschlagenen Wert, genauer kann anhand des Hochpunktes sogar exakt gesagt werden, ab welchem Wert keine Werte aus dem Wertebereich mehr angenommen werden (ab

21,125)

.

Kannst du für

d)

aufschreiben was du gerechnet hast?

Leaton aktiv_icon

13:55 Uhr, 03.11.2015

Was jetzt?

http//2.bp.blogspot.com/-_cygrbGkoiE/VjiuKhm_K9I/AAAAAAAAChk/pFZCLkEnnSg/s1600/Untitled.png

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