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Injektivität / Surjektivität überprüfen

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Funktionen

Tags: bijektiv, Bijektivität, Funktion, injektiv, Injektivität, surjektiv, surjektivität, Tupel

Helpneeder

21:53 Uhr, 28.10.2016

Hallo Leute,
ich habe mich an ein paar einfachen Aufgaben versucht, bei denen man Surjektivität und Injektivität einer Funktion untersuchen musste. Ich tu mir noch ein bisschen schwer bei manchen Funktionen, aber das Prinzip habe ich grundsätzlich verstanden. Aber wenn die Aufgaben ein bisschen komplexer werden, weiß ich oft nicht weiter.

Hier habe ich zum Beispiel eine mit Tupeln in der Funktion:

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, f (x, y) = (x - 2 y, 2 x + y)

Als erstes nehme ich mir die Injektivität vor.
Wenn die Funktion injektiv ist, muss demnach ja gelten:

f (x_{1}, y_{1}) = f (x_{2}, y_{2})

\Rightarrow (x_{1} - 2 y_{1}, 2 x_{1} + y_{1}) = (x_{2} - 2 y_{2}, 2 x_{2} + y_{2})

Und zwei Tupel sollten gleich sein, wenn die einzelnen Werte gleich sind.
Also:

\Rightarrow (x_{1} - 2 y_{1} = x_{2} - 2 y_{2}) \land (2 x_{1} + y_{1} = 2 x_{2} + y_{2})

Soweit korrekt? Wie kann ich die beiden Gleichungen jetzt umstellen, um zu zeigen, dass die Gleichheit wahr ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

22:01 Uhr, 28.10.2016

Am besten, Du bringst bei jeder der Gleichungen alles auf eine Seite.
Und betrachtest das als Gleichungssystem für

(x_{1} - x_{2})

und

(y_{1} - y_{2})

. Das sind sozusagen die Abweichungen von

x_{1}

x_{2}

bzw. von

y_{1}

y_{2}

. Wenn diese Abweichungs-Differenzen = 0 sind,
müsstest Du doch am Ziel sein ?!?

Helpneeder

22:05 Uhr, 28.10.2016

Du hast Recht.
Wenn man es weiß, sieht man es auf den ersten Blick.
Danke!

Helpneeder

22:34 Uhr, 28.10.2016

Ich habe noch eine Frage zu meiner Lösung zur Surjektivität.
So bin ich vorgegangen:

Wenn die Funktion surjektiv ist, muss gelten:

\forall (z_{1}, z_{2}) \in ℝ^{2} \exists (x, y) \in ℝ^{2} : f (x, y) = (z_{1}, z_{2})

Sei nun

(z_{1}, z_{2})

beliebig.
Gesucht ist dann ein

(x, y) \in ℝ^{2}

mit

f (x, y) = (z_{1}, z_{2})

Es gilt

: (z_{1}, z_{2}) = (x - 2 y, 2 x + y)

\Rightarrow (z_{1} = x - 2 y) \land (z_{2} = 2 x + y)

Kann ich nun so argumentieren: "Da

x, y, z_{1}, z_{2} \in ℝ

müssen die beiden Gleichungen immer eine Lösung haben

\Rightarrow f

ist surjektiv."?

Wenn nein, wie bringe ich den Beweis dann zu Ende?

ermanus aktiv_icon

22:45 Uhr, 28.10.2016

Leider kannst Du so nicht argumentieren; denn das Gleichungssystem

x - 2 y = 3 \land - 3 x + 6 y = 4

hat z.B. keine Lösungen.
Du musst, so bitter es ist, Dein Gleichungssystem nach

x

und

y

auflösen (, wobei Du Dir vorstellst, das

z_{1}, z_{2}

zwei Konstanten sind).

Helpneeder

23:21 Uhr, 28.10.2016

Ahso, dann komme ich für

z_{1} = x - 2 y

auf:
(1)

x = 2 y + z_{1}

(2)

y = \frac{x - z_{1}}{2}

Und für

z_{2} = 2 x + y

komme ich, wenn ich mich nicht verrechnet habe, auf:
(3)

x = \frac{- y + z_{2}}{2}

(4)

y = - 2 x + z_{2}

Reicht es jetzt aus, festzustellen, dass sich für

x

und

y

Lösungen finden lassen oder muss ich da noch etwas machen?

ermanus aktiv_icon

23:25 Uhr, 28.10.2016

Da hast Du einen Denkfehler: das Paar

(x, y)

muss beide Gleichungen
zugleich erfüllen. D.h. Du suchst zwei Gleichungen der Gestalt:

x = a z_{1} + b z_{2}

y = c z_{1} + d z_{2}

.

Das ist natürlich etwas schwieriger, aber in unserem konkreten Falle
machbar.

Wenn Du (1) und (3) gleichsetzt, bekommst Du eine Gleichung für

y

.
Wenn Du (2) und (4) gleichsetzt, bekommst Du eine Gleichung für

x

ermanus aktiv_icon

23:42 Uhr, 28.10.2016

So, für heute bin ich weg ...
Gruß ermanus

Helpneeder

12:33 Uhr, 29.10.2016

Ach ja, stimmt!
Also:

Für

y

ergibt sich dann:

2 y + z_{1} = \frac{- y + z_{2}}{2}

\Rightarrow 4 y = - y + z_{2} - 2 z_{1}

\Rightarrow y = \frac{- 2 z_{1} + z_{2}}{5}

Und für

x

ergibt sich:

\frac{x - z_{1}}{2} = - 2 x + z_{2}

\Rightarrow x - z_{1} - 2 z_{2} = - 4 x

\Rightarrow x = \frac{z_{1} + 2 z_{2}}{5}

Sofern ich jetzt keine Rechenfehler gemacht habe, sollte die Existenz dieser beiden Gleichungen schon Beweis genug sein, oder?

ermanus aktiv_icon

13:34 Uhr, 29.10.2016

Ja, das habe ich auch heraus.

Und in der Tat ist das ein Beweis für die Surjektivität, da ja zu jedem
vorgegebenen Paar

(z_{1}, z_{2})

im Wertebereich von

f

das errechnete Paar

(x, y)

ein Urbild darstellt. Manche Leute würden jetzt vielleicht noch darauf
bestehen, dass man noch zeigen müsse, dass nun auch wirklich

f (x, y) = (z_{1}, z_{2})

ist.

Gruß ermanus

Helpneeder

01:33 Uhr, 30.10.2016

Super, vielen Dank!

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