Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Injektivität bei Kompositionen

Injektivität bei Kompositionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Komposition

Bokeni aktiv_icon

17:49 Uhr, 04.02.2019

Hallo,

Seien

X, Y

und

Z

Mengen und

g : X \to Y

und

f : Y \to Z

(1)

Ist

g o f

injektiv, so ist auch

f

injektiv.

(2)

ist

g o f

surjektiv, so ist auch

g

surjektiv

Zu

(1)

Ich habe mir die Beweisführung angeschaut, aber habe nicht verstanden warum bei (1)

z . B

jetzt mit

g (f (x 1)) = g (f (x 2))

folgt ja, dass

x 1 = x 2

ist. Also warum daraus dann direkt folgt, dass

f

injektiv ist.

f

ist ja injektiv, wenn

f (x 1) = f (x 2) \to x 1 = x 2

folgt.

Injektivität bedeutet ja, dass ich mir aus meiner Wertemenge, in diesem Fall

Y,

zwei beliebige Elemente picke und diese Elemente müssen per Definition von unterschiedlichen Elementen aus der Menge

X

getroffen werden. Die beiden Elemente aus

Y,

also

y 1

und

y 2

können also nur gleich sein, wenn es auch das gleiche Element der Menge

X

sind, also

x 1 = x 2

.

Zu

(2)

Läuft die Beweisführung ja so ab:

Da

g o f

surjektiv ist, gilt

g (f (x)) = z,

weil die Komposition

g o f : X \to Z

geht. Jetzt will ich beweisen, dass

g (y) = z

ist, damit mein

g

auch surjektiv ist und hier kommt der Schritt, den ich nicht verstehe. Ich wähle mein

y

einfach

y := f (x),

damit habe ich natürlich dann einfach stehen:

g (y) = z

und wäre damit schon am Ende, aber wieso darf ich mein

y

einfach

f (x)

wählen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

18:08 Uhr, 04.02.2019

Hallo,

also, deine Beweisführung ist eben zu wenig formal.
Es gibt diese Formalismen, damit die Schritte zu ihrer Überprüfung einfach und in gewisser Weise standadisiert sind.

Versuchen wir uns mal der Sache mit dem Injektiven zu widmen:

Seien

X, Y, Z

Mengen und

f : X \to Y

und

g : Y \to Z

Abbildungen (dort hast du dir einen Lapsus erlaubt!).
Weiter gelte, dass

g \circ f : X \to Z

injektiv sei.

Wir zeigen nun, dass dies bedeutet, dass schon

f

injektiv sein muss.
(Ich versuche einen direkten Beweis, also ohne Widerspruch, was hier allerdings ein gangbarer Weg wäre.)

Um zu beweisen, dass

f

injektiv ist, müssen wir für

x_{1}, x_{2} \in X

mit

f (x_{1}) = f (x_{2})

zeigen, dass

x_{1} = x_{2}

gilt.
(Hier Zäsur: Wenn du dies nicht verstehst, haben "wir" ein Problem!)

Weiter: Wenn

f (x_{1}) = f (x_{2})

gilt, dann sicher auch

g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))

(Klar: Wenn die Elemente

f (x_{1})

und

f (x_{2})

gleich sind, dann sind ihre Bilder unter Anwendung der Abbildung

g

auch gleich.)

g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))

heißt aber gerade nichts anderes als

g \circ f (x_{1}) = g \circ f (x_{2})

(*)
(Hier passiert eigentlich nichts, es wird nur die Schreibweise geändert.)

Da aber

g \circ f

injektiv ist, bedeutet dies, dass aus (*) die Identität

x_{1} = x_{2}

folgt. Und genau das war zu zeigen!

Ok, nun der andere Beweis:

Sei

g \circ f

surjektiv.
Wir beweisen, dass dann

g

surjektiv ist.
Was haben wir zu tun?
Wir müssen für ein beliebiges

z \in Z

ein "Urbild" unter

g

finden, d.h. wir suchen ein

y \in Y

mit

g (y) = z

.
Hm, wie finden wir eins?
Immerhin wissen wir, dass

g \circ f

surjektiv ist, d.h. zu dem oben genannten

z \in Z

gibt es ein

x \in X

mit

g \circ f (x) = z

, oder - anders geschrieben -

g (f (x)) = z

.

Was wollten wir doch gleich?
Wir suchten ein

y \in Y

, für das

g (y) = z

gilt.
Das haben wir gefunden:
Es gelten

f (x) \in Y

(So ist

f

ja definiert.) und

g (f (x)) = z

.

Da wir ein

y

herzeigen sollten, dass diese Eigenschaften hat, können wir auf

f (x)

zeigen und sagen: "Das kannst du für

y

nehmen, das tut es."
Mathematisch schreibt man lakonisch:

y := f (x)

erfüllt die Anforderungen.

Mfg Michael

Bokeni aktiv_icon

18:44 Uhr, 04.02.2019

Aber wenn ich sage

f (x) = y,

dann habe ich doch auch die Surjektivität von

f

gezeigt oder nicht? Das ist doch genau die Definition dieser? Das also für ein

y

Element

Y

gibt es mindestens ein

x

Element

X,

für das gilt

f (x) = y

? Aber man sollte ja die surjek. von

g

zeigen oder nicht?

Also mir ist klar, dass damit auch die surjek. von

g

gezeigt ist, aber ist damit nicht auch die von

f

gezeigt?

michaL aktiv_icon

18:53 Uhr, 04.02.2019

Hallo,

> Aber wenn ich sage f(x)=y, dann habe ich doch auch die Surjektivität von f gezeigt oder nicht?

Nein. Nur, wenn man für ein BELIEBIGES

y \in Y

ein

x \in X

angeben kann, sodass

y = f (x)

gilt.

Hier ist nicht

y

(als beliebig) GEGEBEN, hier ist ein

y

GESUCHT.

Und der Beweis beschreibt einen Weg, wie man es findet.

Der Unterschied ist schon erheblich, nicht filigran.

Mfg Michael

Bokeni aktiv_icon

19:04 Uhr, 04.02.2019

Ich hab immer Problemen mit Beweisen die zu leicht erscheinen. Den Beweis für die injektivität habe ich verstanden, aber der für die Surjektivität macht mich noch etwas stutzig.

f (x)

ist ein Element von

Y

ist mir auch klar, weil die Funktion

f

halt

f : X \to Y

so definiert ist.

Was ich jetzt immer noch nicht nachvollziehen kann, ist wie ich mir das irgendwie vorstellen kann, dass wir da das

f (x) = y

definieren.
Du hast ja geschrieben, dass wir EIN

y

Element

Y

suchen und

f (x)

ist ein solches Element, dann wäre der Beweis doch eigentlich da schon vorbei oder nicht? Müssen wir das überhaupt so definieren, weil es ja klar ist, dass

f (x) = y

ist, weil es ja ein Element von der Menge

Y

ist?

Wieso suchen wir eigentlich nur ein y? Muss das nicht auch beliebig sein?

Bokeni aktiv_icon

20:15 Uhr, 04.02.2019

Hallo,

ich hab meinen Fehler gefunden und habe jetzt verstanden was du gemeint hast. Dir ist der Fehler auch wahrscheinlich auch aufgefallen, es war ein Definitionsfehler. Ich habe angenommen, dass wir in dieser Reihenfolge suchen ein beliebiges

y

Element

Y

für das es mind. ein

z

Element

Z

gibt, aber wir suchen in dieser Reihenfolge

\to

ein beliebiges

z

Element

Z

für des es mind ein

y

Element

Y

gibt.

Deswegen konnte ich die Beweisführung auch nicht verstehen, da ich von völlig falschen Vorraussetzungen ausgegangen bin, aber das hast du mir ja versucht zu erklären. Dieses mind. ein Element

y

haben wir durch

f (x)

gefunden.

Nun kann ich auch meine Aufgabe zur Bijektivität einer Funktion lösen und falls du Zeit hast, kannst du gerne drüber schauen.

Gegeben sind zwei Abbildungen

f : X \to Y g : Y \to X

und die Komposition

f o g

soll bijektiv sein. Daraus soll dann folgen, dass

f

surjektiv und

g

injektiv ist.

Da ich jetzt die Aufgabe von davor verstanden habe, sollte ich diese auch lösen können.

Beweis der Surjektivität von

f :

Da ich durch den Beweis der Surjektivität von der anderen Aufgabe gezeigt habe, dass eine surjektive Komposition so aussieht, kann ich das nochmal verwenden.

Also:

f (g (y)) = y

ist trivial, da meine Komposition surjektiv sein soll. Nun folgere ich erstmal daraus, dass meine Abbildung

f

deswegen auch surjektiv sein muss.

Zu zeigen ist also:

f (x) = y

für ein beliebiges

y

Element

Y

für das es mindestens ein

x

Element

X,

für das gilt

f (x) = y

. (Ich schreibe mir die Definition etwas öfter auf, damit ich sie mir gut einpräge)

Da ich also ein mindestens ein

x

Element

X

suche, für das

f (x) = y

gilt verwende ich das

g (y)

Element

X,

da mein meine Abbildung

g : Y \to X

so definiert ist. Ich habe also ein beliebiges

x

gefunden und definiere mir nun dieses als

g (y) = x

und setze es dementsprechend ein.

Also

\to f (x) = y

für

x

setze ich nun mein

g (y)

ein und habe dann die Surjektivität gelöst, also

f (g (y) = y

.

Die Injektivtät folgt eigentlich dann auch Analog zur dieser Aufgabe eins, deswegen belasse ich es erstmal bei diesem Beweis, sonst schreibe ich wieder zu viel Text, aber wenigstens beschäftigt mich die Aufgabe ein wenig.

anonymous

20:35 Uhr, 04.02.2019

ich will mich in die fachliche Diskussion nicht einmischen. Aber:
Die Notation für die Komposition von Abbildungen ist nicht einheitlich (standardisiert):
man kann

f ○ g

von "rechts nach links" lesen (was im deutschsprachigen Raum weit verbreitet ist), also "erst g dann f" , es geht aber auch von "links nach rechts": "erst f dann g" - man muss also stets nachsehen, welche Notation der Autor verwendet.

Das übliche "erst g dann f" , also

f ○ g

ist wegen

(f ○ g)

(x) = f(g(x))
irgendwie naheliegender...

Bokeni aktiv_icon

20:48 Uhr, 04.02.2019

Die Definition die ich zu der Aufgabe verwendet habe ist diese:

Es seien

f : X \to Y

und

g : Y \to Z

Abbildungen. Dann ist

g o f : X \to Z

x \to g (f (x)

Eine Abbildung von

X

nach Z.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1458170

1458147

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?