Integral 1 bis unendlich

naja, du musst ganz einfach das uneigentliche integral lösen...

das bedeutet, du ersetzt die unendliche grenze durch eine variable und lässt diese dann gegen unendlich gehen

formal korrekt würde das so aussehen:

${\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_1^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left({\int }_1^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\underset{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left((-1)\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\underset{1}{\overset{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{|}}\right)=(-1)\underset{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{1}{1}\right)=1}$

jap....

hast du verstanden was ich da gemacht hab, oder soll ich noch ein paar worte drüber sagen?

ok...

das ganze läuft im prinzip immer gleich ab, und nennt sich wie gesagt "uneigentliches integrieren"

hat man ein unbeschränktes integrationsintervall, also zum beispiel ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0}$...

dann kann man das nur lösen, indem man die unbeschränkte grenze durch eine variable substituiert, und diese dann gegen unendlich gehen lässt. (limes...)

diese limes-bildung muss nicht zwingend konvergieren!! es kann durchaus vorkommen dass die "lösung" des integrals unendlich ist! dies ist dann allerdings keine echte-lösung, und man sagt: "das uneigentliche integral existiert nicht" bzw. das "uneigentliche integral divergiert"

bei einem integral dieser form: ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ löst man das ganze ganz einfach durch aufteilen des integrals: ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\int }_{-\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0+{\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und geht dann wieder wie gehabt vor.

@Ramanujan

abgesehen davon dass warscheinlich für die schreibweise deiner rechnung jeder mathematiker einen wutanfall bekommt.... ist es bei komplizierteren beispielen auch absolut nicht zielführend (und meiner meinung nach auch nicht korrekt) das ganze ohne grenzwertbildung zu rechnen, da die existenz eines solchen integrals ja gerade über die existenz des grenzwertes definiert ist.

@andreas

immer wieder gerne ;-)