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Integral Mantelfläche schiefer Zylinder
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration, Körperberechnung, Mantelfläche
 
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Hallo zusammen, ich überlege gerade wie ich die abgerollte Mantelfläche eines schiefen Zylinders berechnen kann. Im Internet habe ich die allgemeine Formel gefunden. Diese sollte meines Erachtens nach auch stimmen, a kann dabei über berechnet werden. Ich würde diese Fläche aber gerne über ein Integral bestimmen. Die Grenzen müssten dabei meiner Meinung nach 0 und sein, und die Mantellinie hat wie gesagt die Länge . Das Problem ist jetzt, dass diese Fläche oben und unten durch zwei Kurven begrenzt ist, sodass nicht wie beim geraden Zylinder ein Rechteck als Fläche herauskommt. Würde man das überschüssige Stück oben "abschneiden" und unten anfügen, sollte allerdings wieder die Form eines Rechtecks entstehen. Ich suche also quasi die Fläche zwischen den beiden Kurven. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Zylinder (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo wenn du längs einer matellinie der Länge a schneidest, bekommst du doch wieder eine Rechteck? wie schneidest du denn auf? Gruß ledum |
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Nein bei einem schiefen Zylinder kommt eben kein Rechteck raus, sondern eine Fläche die (glaube ich) näherungsweise von zwei cosinus Kurven begrenzt ist. http//www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=oblique_cylinder Hier sieht man wie das ganze aussieht. |
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Hallo Du hast recht. aus Symmetriegründen ist die obere Funktion dieselbe . wie die untere, nur um das Stück a verschoben. wenn du also die Achse an den tiefsten Punkt von legst musst du die Fläche zwischen den 2 Funktionen und berechnen. das ist aber genau (f(xI+a-f(x))dx das ist natürlich nur mit Integralrechnung dasselbe wie oben abschneiden und nach unten legen. Gruss ledum |
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Hallo meine letzte Antwort ist leider falsch, da die Länge ja nicht ist, sondern die Länge der Kurve ist . damit ist auch die Fläche mit falsch. wo hast du denn die Behauptung gefunden. da die Gerade Linie der Umfang einer Ellipse ist, den man nicht einfach ausrechnen kann, weiss ich im Moment auch keinen gangbaren Weg. Gruß ledum |
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Ja stimmt, ist ja nur der Kreisumfang aber nicht die gesamte Strecke. Kann man denn anders beweisen, dass die Fläche quasi wieder ein Rechteck ist? rechneronline.de/pi/schraeger-zylinder.php Hier steht die Formel |
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Hallo die Formel für den Mantel ist einfach falsch. und da die gerade Linie eine aufgeschnittene Ellipse ist auch nicht einfach auszurechnen, da man den Umfang einer Ellipse nicht elementar ausrechnen kann. Gruß ledum |
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Hm, den Umfang einer Ellipse kann man aber doch wiederum über ein Integral berechnen, oder liege ich da falsch? Ich verstehe nur deine letzte Ausführung nicht ganz, ich sehe da nichts von einer Ellipse. http://www.korthalsaltes.com/gif1/oblique-cylinder.gif Meinst du hier die beiden Kurven oben und unten? kann es sein dass du an den schräg abgeschnittenen Zylinder denkst? Den meine ich nämlich nicht, aber in diesem Fall wäre ja die Schnittfläche eine Ellipse? |
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ich sehe da nichts von einer Ellipse. Gesucht ist doch die Länge der in der angehängten Zeichnung rot eingetragenen Strecke. (Die, von der rechneronline.de fälschlicherweise glaubt, sie sei aber das ist nur die Länge der die Abrollung begrenzenden Sinuslinie. Die Ellipse ergibt sich, wenn man das gezeichnete Netz mit der roten Strecke wieder zum Zylinder zusammenklebt - die rote Strecke ist dann eine Ellipse auf dem Zylinder geworden. Diese Ellipse entsteht auch, wenn man den Zylinder mit einer Ebene schneidet, welche orthogonal zu einer Erzeugenden steht. Anders ausgedrückt - deinen schiefen Kreiszylinder kannst du auch als geraden elliptischen Zylinder betrachten, der jeweils "schräg" abgeschnitten wird (und zwar eben so, dass die Schnittflächen Kreise sind). Und ja, du hast Recht, man kann den Umfang der Ellipse mit einem Integral berechnen. Dummerweise führt das aber eben auf ein sogenanntes elliptisches Integral und das ist elementar leider nicht lösbar. Schätze, du wirst deine gesuchte Mantelfläche nur näherungsweise ermitteln können. |
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Da mein Problem leider noch nicht gelöst ist habe ich nun nochmal eine Frage. http//www.korthalsaltes.com/gif1/oblique-cylinder.gif Nehmen wir mal bei dieser schiefen Zylinderabwicklung die Mantelfläche. Rein theoretisch kann man ja den kurvigen Teil von oben einfach unten anfügen, sodass ein Rechteck entsteht. Die Länge der einen Seite wäre dann ja einfach also die Mantellinie. Mir fällt jedoch nicht ein wie ich die andere Seite berechnen kann. Wie schon richtig gesagt wurde hat die abgerollte Version die Länge das würde dann für das Rechteck aber nicht gelten. |
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Mir fällt jedoch nicht ein wie ich andere Seite berechnen kann. Um diese Seite gehts doch in der Diskussion die ganze Zeit!! Diese andere Seite ist eben der Umfang der vorhin erwähnten Ellipse und der lässt sich nicht in geschlossener analytischer Form darstellen. Daher eben mein Hinweis auf Näherungsverfahren, da die Aufgabe nur numerisch lösbar ist. Für ein CAS ist dieses elliptische Integral 2.Art natürlich kein Problem (numerisch), aber es lässt sich eben nicht durch elementare Funktion darstellen - Pech! |
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Sorry hatte zum Schluss nicht mehr ganz den Durchblick. Hast du denn eine Idee wie man das Näherungsweise bestimmen kann? |
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Kommt darauf an, welche Hilfsmittel dir zur Verfügung stehen. Natürlich kann man das Integral auch "zu Fuß" näherungsweise berechnen (zB mit Simpson). Das alles aber natürlich nur, wenn die anderen Größen numerisch gegeben sind, also Kreisradius, Höhe, Winkel oder Erzeugendenlänge. Natürlich könntest du auch eine allgemeine Näherungsformel entwickeln, indem du das Integral durch eine Reihe darstellst und dieses dann irgendwo abbrichts. Du kannst auch eine allgemeine Näherungsformel erhalten, in dem du den schiefen Kreiszylinder durch ein schiefes n-seitiges Prisma annäherst. Für dieses solltest du die Mantelfläche exakt angeben können und je größer du wählst, desto genauer wird das Ergebnis. Ansätze gibts also viele - je nachdem, wofür du das Ganze benötigst und was dir an Hilfsmitteln zu Verfügung steht, wirst du also deine Waffen wählen. Habe eben bemerkt, dass die (falsche) Mantelfläche auf rechneronline.de mittlerweile nicht mehr angeboten wird ;-) Hast du den Fehler dort gemeldet? |
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Alles klar, vielen Dank dir! Ne ich habs nicht gemeldet, muss jemand Anderes gewesen sein, aber ein lustiger Zufall ;-) |
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Nachtrag: Du kannst auch für den Umfang der Ellipse eine der Näherungsformeln hier verwenden de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#N.C3.A4herungen Die von Ramanujan scheint ziemlich genau zu sein. Die Mantelfläche deines Zylinders ist dann einfach Die halbe Hauptachse a (Achtung, das ist nicht das a aus der Zeichnung, welches ich auch in obiger Formel verwendet habe, sondern bezieht sich auf die übliche Bezeichnung der Achsenlängen bei Ellipsen) der Ellipse ist bei dir der Kreisradius Die halbe Nebenachse der Ellipse berechnet sich mit |
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