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Integral auf Existenz untersuchen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Existenz, Grenzen, Integration, Untersuchen

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14:11 Uhr, 01.12.2014

Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgenden Integrale auf Existenz:

a) \int_{π}^{\infty} \frac{cos (x)}{x^{2}} d x

b) \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \cdot ln (x)} d x

c) \int_{1}^{\infty} | \frac{sin (x)}{x} | d x

Ich weiß nicht so recht, wie ich anfange. Einfach versuchen zu integrieren oder mit Minoranten-/Majorantenkriterium arbeiten?
Bei

b)

würde ich die Substitutionsregel anwenden und

t = ln (x)

setzen und bekäme

[ln (t)]

als Stammfunktion.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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17:41 Uhr, 01.12.2014

a) - Majorante, b) - direkt, c) - Minorante

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20:32 Uhr, 01.12.2014

a)

cos(x)/x²

\leq

1/x² und das konvergiert für

x \to \infty

gegen 0?

b)

Ich hätte dann

ln (t)

als Stammfunktion und für

t ln (x)

wieder eingesetzt, wäre dies

ln (ln (x)),

geht das so?

c) | \frac{sin (x)}{x} | \geq

?. Es ist maximal

\frac{1}{x},

glaube dies hilft aber nicht weiter.

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23:57 Uhr, 01.12.2014

a) fast richtig, ganz richtig wäre

\frac{∣ \cos (x) ∣}{x^{2}} \leq \frac{1}{x^{2}}

b) richtig
c)

\frac{∣ \sin (x) ∣}{x} \geq \frac{1}{2 x}

für

x

aus

\cup_{n} (π n + 1 / 6, π n + 5 / 6)

, das reicht für Divergenz (man kann das Integral durch die Reihe der Form

\frac{c}{n}

mit einem

c > 0

nach unten abschätzen)-

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13:41 Uhr, 03.12.2014

a) \int_{π}^{\infty}

|cos(x)/x²| = |cos(x)|/x²

\leq \int_{π}^{\infty}

1/x². Da 1/x² für

x \to \infty

gegen 0 konvergiert, existiert das Integral von cos(x)/x². Ist das formal korrekt?

b)

ln (ln (x)

für

x \to \infty

nicht konvergiert, existiert das Integral nicht, korrekt?

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13:59 Uhr, 03.12.2014

c)

Verstehe ich nicht so wirklich.
Könnte man auch sagen:

| \frac{sin (x)}{x} | \leq \frac{1}{x}

und

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}

existiert nicht, da

{[ln (x)]}_{1}^{\infty}

und

lim (ln (x)) (x \to \infty)

nicht existiert.

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14:33 Uhr, 03.12.2014

a) Du schreibst es sehr komisch auf, was soll denn

\int . . . = ∣ \cos (x) ∣ / x^{2}

bedeuten?
Links Integral, Rechts Funktion.

b) ja, richtig

c) kann man nicht, denn wenn du eine Funktion mit einer anderen majorierst, deren Integral divergiert, heißt es noch nichts. Daraus folgt halt nichts. Denn man hat z.B.

\frac{1}{x^{2}} < \frac{1}{x}

und

\frac{1}{2 x} < \frac{1}{x}

, aber im ersten Fall

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x < \infty

und im zweiten Fall

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x} d x

divergent.

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14:50 Uhr, 03.12.2014

c)

Stimmt natürlich, ich muss eine Minorante finden, die divergiert.

| \frac{sin (x)}{x} | = \frac{| sin (x) |}{x}

x \in [1, \infty)

ohnehin positiv ist.

\frac{| sin (x) |}{x} \geq \frac{1}{2 x},

weil?
Mit dem

x

aus ∪n(pi

n + \frac{1}{6}, π n + \frac{5}{6})

verstehe ich auch nicht, woher du das nimmst..
Für mich divergiert

\frac{1}{2 x},

{[\frac{ln (x)}{2}]}_{1}^{\infty}

gilt und das Integral wie bei

b)

divergent ist.

Edit: Eigentlich sollte

\geq \frac{1}{2 x}

doch klar sein... Ist mein Beweis denn dann korrekt?

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14:58 Uhr, 03.12.2014

Du brauchst Minorante, was würde dir

\leq \frac{1}{2 x}

bringen?

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15:01 Uhr, 03.12.2014

Es muss natürlich

\geq \frac{1}{2 x}

heißen.
Ist oben korrigiert.

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15:08 Uhr, 03.12.2014

Gut, ich werde wohl zu lange brauchen, um Dir mein Argument zu erklären, deshalb eine andere Idee:
Minorante

\frac{\sin^{2} (x)}{x}

. Aus

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

kann man Divergenz von

\int \frac{\sin^{2} (x)}{x}

folgern (nutze

∣ \sin (x) ∣ = ∣ \cos (x + π / 2) ∣

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15:11 Uhr, 03.12.2014

Warum ist

\frac{| sin (x) |}{x} \geq \frac{1}{2 x}

nicht korrekt? Dies divergiert ja oder war mein Beweis dazu nicht richtig? Denn

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x}

existiert nicht.

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15:20 Uhr, 03.12.2014

"Warum ist

∣ s i n (x) ∣ / x \geq 1 / 2 x

nicht korrekt?"

Weil diese Ungleichung gar nicht immer stimmt. Sinus ist auch mal

0

. :-)

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15:52 Uhr, 03.12.2014

Also, es gilt:

| \frac{sin (x)}{x} | = \frac{| sin (x) |}{x} \geq

sin²(x)/x.
Setze

f' (x) =

sin²(x),

g (x) = x^{- 1},

also

f (x) = \frac{1}{2} (x - (\frac{sin (2 x)}{2})

und

g' (x) = - x^{- 2}

bzw. -1/x², ist dies korrekt? Habe bisher nicht wirklich die Stelle gesehen, wo ich deine Hinweise gebrauchen konnte..

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16:10 Uhr, 03.12.2014

Da sin²(x)

+

cos²(x)

= 1

ist sin²(x)

= 1 -

cos²(x), also:

\int_{1}^{\infty}

sin²(x)/x

= \int_{1}^{\infty}

(1-cos²(x))/x

= \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} - \int_{1}^{\infty}

cos²(x)/x.
Und

\frac{1}{x}

ist die die harmonische Reihe, die divergent ist, somit ist die Minorante sin²(x)/x divergent und damit auch

\frac{| sin (x) |}{x},

korrekt?

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16:20 Uhr, 03.12.2014

"Und 1x ist die die harmonische Reihe, die divergent ist, somit ist die Minorante sin²(x)/x divergent und damit auch |sin(x)|x, korrekt?"

Nein. Differenz von zwei divergenten kann konvergent sein und Du weißt noch nicht, ob Integral mit Kosinus konvergiert. Hier hast Du nichts erreicht.

Wozu Du Ableitungen geschrieben hast, verstehe ich nicht.

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16:32 Uhr, 03.12.2014

Könntest du mir sagen, wie ich an dieser Stelle die Konvergenz von cos²(x)/x beweise? Kann die

a)

behilflich sein?

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16:38 Uhr, 03.12.2014

Nein, kann sie nicht.
Denn

\int \frac{\cos^{2} (x)}{x}

ist DIVERGENT!

Sorry, aber ich kenne keine Lösung, die einfach genug ist, damit wir sie gemeinsam hier erreichen könnten. Ich kann Dir eine Lösung aufschreiben, aber sie ist nicht einfach. Und das kann ich nur später machen. Also lasse ich Dir Zeit, vielleicht kommst Du (oder sonst jemand) auf eine einfache Lösung.

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17:08 Uhr, 03.12.2014

Das wäre nett, aber kein Stress.
Bin leider etwas ratlos bei der Aufgabe.

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19:54 Uhr, 03.12.2014

1. Wir brauchen trigonometrische Beziehungen

\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1

und

\cos (x) = \sin (x + π / 2)

.
Daraus folgt

\sin^{2} (x + π / 2) + \sin^{2} (x) = 1

, was wir später brauchen werden.

2. Wir brauchen diese Aussage:

\int_{π}^{\infty} (\frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}) d x

ist konvergent. Das folgt daraus, dass

∣ \frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} - \frac{\sin^{2} (x)}{x} ∣ = \frac{\sin^{2} (x) (x - (x - π / 2)}{(x - π / 2) x} = \frac{\sin^{2} (x) \cdot π / 2}{(x - π / 2) x} \leq \frac{π / 2}{(x - π / 2) x} \leq \frac{π}{2} \frac{1}{(x - π / 2)^{2}}

und

\int_{π}^{\infty} \frac{d x}{(x - π / 2)^{2}} = \int_{π / 2}^{\infty} \frac{d y}{y^{2}}

ist konvergent (Substitution

y = x - π / 2

).

Das bedeutet, dass

\int_{π}^{R} (\frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}) d x \to C = \int_{0}^{\infty} . . .

, wenn

R \to \infty

, also

\int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} d x = C + \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x + g (R)

, mit

g (R) \to 0

bei

R \to \infty

.

(

g (R)

ist definiert als Differenz zwischen

\int_{π}^{\infty} (\frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}) d x

und

\int_{π}^{R} (\frac{\sin^{2} (x)}{x - π / 2} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}) d x

).

3. Jetzt beweisen wir, dass

\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

divergent ist.
Wir betrachten zuerst aber nicht das endliche Integral:

\int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

. (Das ist die ursprüngliche untere Grenze von

1

auf

π

geändert habe, macht keinen Unterschied, denn das Integral

\int_{1}^{π} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

ist sowieso eine endliche Zahl, also hat keinen Einfluss auf Konvergenz-Divergenz.)
Nach dem Punkt 1 gilt:

\int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x = \int_{π}^{R} \frac{1 - \sin^{2} (x + π / 2)}{x} d x = \int_{π}^{R} (\frac{1}{x} - \frac{\sin^{2} (x + π / 2)}{x}) d x = \int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x + π / 2)}{x} d x

.
Jetzt mache ich im zweiten Integral eine Substitution

x + π / 2 = y

. Danach:

\int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x + π / 2)}{x} d x = \int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - \int_{3 π / 2}^{R + π / 2} \frac{\sin^{2} (y)}{y - π / 2} d y

.
Jetzt nach dem Punkt 2:

\int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - \int_{3 π / 2}^{R + π / 2} \frac{\sin^{2} (y)}{y - π / 2} d y = \int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - (C_{1} + \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x + g (R))

,

wobei

C_{1} = C + \int_{R}^{R + π / 2} \frac{\sin^{2} (y)}{y - π / 2} d y - \int_{π}^{3 π / 2} \frac{\sin^{2} (y)}{y - π / 2} d y)

.

Draus folgt

2 \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x = \int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x - C_{1} - g (R)

.

Wenn jetzt

2 \int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

bei

R \to \infty

konvergieren würde, würde auch

\int_{π}^{R} \frac{1}{x} d x

konvergieren, da

C_{1}

eine Konstante ist und

g (R) \to 0

. Dem ist aber nicht so. Also, muss

\int_{π}^{R} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

divergieren, also das uneigentliche Integral

\int_{π}^{\infty} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

ist divergent und mit ihm auch

\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^{2} (x)}{x} d x

.

4. Jetzt bleibt nur

\frac{\sin^{2} (x)}{x} d x \leq \frac{∣ \sin (x) ∣}{x} d x

anzuwenden.

Eine ziemlich blöde Aufgabe, weil sie von der Idee her gar nicht so kompliziert ist und sieht trotzdem furchterregend aus, wenn aufgeschrieben. Aber womöglich geht es auch einfacher.

maximal99 aktiv_icon

11:57 Uhr, 04.12.2014

Wow, vielen Dank für die Mühe!

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17:53 Uhr, 04.12.2014

Noch eine allg. Verständnisfrage:

| \frac{sin (x)}{x} | \geq - \frac{1}{x}

wäre nicht korrekt, da die Ungleichung allgemein erfüllt sein muss und nicht nur auf dem vorgegeben Intervall

[1, \infty)

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17:59 Uhr, 04.12.2014

Steht da Minus vorne? Dann bringt sie nichts.
Wenn da kein Minus stehen würde, wäre sie auch auf

[1, \ i n f t y)

nicht erfüllt.

maximal99 aktiv_icon

18:01 Uhr, 04.12.2014

Ja, minus.
Bringt nichts, weil sie nicht divergiert? Hätte gedacht, dass sie divergiert, weil es die harmonische Reihe ist, nur negativ.

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19:28 Uhr, 04.12.2014

Natürlich divergiert sie, aber so eine Minorante bringt nichts.
Denn Du kannst auch für

0

-Funktion schreiben:

0 > - \frac{1}{x}

. Würde daraus folgen, dass Integral über

0

divergiert? ;-)

Deshalb ist auch wesentlich, dass man nur nichtnegative Minoranten nehmen darf.
Eine Minorante für eine Funktion

f

ist eine Funktion

g

mit der Eigenschaft

0 \leq g (x) \leq f (x)

. Und

0 \leq

darf man nicht weglassen, sonst stimmt die Aussage "Integral über Minorante divergent => Integral über

f

divergent" nicht mehr.

maximal99 aktiv_icon

19:33 Uhr, 04.12.2014

Ah, wieder was gelernt, das mit den nichtnegativen Funktionen hatte ich nicht mehr bedacht.
Besten Dank :-)
Letzte Frage:
Ist es schwierig, die Konvergenz von

\frac{cos (2 x)}{2 x}

zu beweisen? Wenn nicht, könntest du mir verraten, wie es geht?

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19:57 Uhr, 04.12.2014

Seite 18 (126) hier:
http//www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/07/vorl07_ana.pdf
Da steht es für Sinus (Dirichlet-Integral), für Kosinus geht's genauso (sogar einfacher, weil für Kosinus man

0

nicht betrachten muss, das Integral kann nicht bei

0

beginnen).

maximal99 aktiv_icon

20:37 Uhr, 04.12.2014

\int_{1}^{\infty} \frac{cos (2 x)}{2 x} = {[\frac{sin (2 x)}{4 x}]}_{1}^{\infty} + \int_{1}^{\infty} \frac{sin (2 x)}{4 x^{2}}

bzw.

{[\frac{sin (2 x)}{4 x}]}_{y 1}^{y 2} + \int_{y 1}^{y 2} \frac{sin (2 x)}{4 x^{2}}

| \int_{y 1}^{y 2} \frac{cos (2 x)}{2 x} | \leq \frac{1}{2 y 1} + \frac{1}{2 y 2} + \int_{y 1}^{y 2} \frac{1}{x^{2}}

.

Nun geht

y 2

in meinem Fall gegen

\infty

und

y 1 = 1,

wie würde es dann an dieser Stelle weitergehen?

\frac{1}{2 \cdot 1} + 0 + 1 = 1 \frac{1}{2}

? Somit

| \int_{1}^{\infty} \frac{cos (2 x)}{2 x} | \leq 1 \frac{1}{2}

DrBoogie aktiv_icon

08:56 Uhr, 05.12.2014

Ja, so kann man schreiben. Obwohl nach dem konkreten Wert nicht gefragt wurde, also würde auch

∣ \int . . . ∣ < \infty

reichen.

maximal99 aktiv_icon

08:59 Uhr, 05.12.2014

Alles klar, dann lassen wir diese Aufgabe endlich ruhen.
Danke nochmal!

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