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Integral e-Fkt. mit Riemann-Summe

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: e-Funktion, Integration, Riemannsche Summen

Julian93 aktiv_icon

12:46 Uhr, 13.04.2016

Hallo,

die Aufgabe befindet sich im Anhang. Ich habe schon einige Ansätze durchprobiert, aber wenn ich den Ausdruck gegen unendlich schicke (nach entsprechenden Umformungen), kommt irgendwie nur Unsinn dabei heraus. :-D)

Kann mich jemand auf den richtigen Weg schicken?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

DrBoogie aktiv_icon

12:55 Uhr, 13.04.2016

Es ist alles richtig, vermutlich rechnest Du nur den Grenzwert falsch.
Es gilt z.B.

lim_{n} n (1 - e^{a / n}) = - a

, das kann man mit L'Hospitalregel beweisen.
Das wäre der Grenzwert für Nenner. Im Zähler ist das einfach

a (1 - e^{a})

. Insgesamt also

e^{a} - 1

Julian93 aktiv_icon

13:53 Uhr, 13.04.2016

Vielen Dank für die Antwort!

Gibt es hier keinen leichteren Lösungsweg? Mit L'Hospital artet es irgendwie ziemlich aus.

DrBoogie aktiv_icon

14:07 Uhr, 13.04.2016

Du kannst im Prinzip auch ausnutzen, dass der Grenzwert praktisch die Definition der Ableitung ist:

lim_{n \to \infty} n (1 - e^{a / n}) = a \cdot lim_{n \to \infty} \frac{n}{a} (1 - e^{a / n}) = a \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 - e^{a / n}}{a / n} = - a \cdot lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} =

- a \cdot lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{0}}{x - 0} = - a \cdot

Ableitung von

e^{x}

an der Stelle

0

, also

- a

Julian93 aktiv_icon

14:22 Uhr, 13.04.2016

Danke, das sieht schon deutlich humaner aus, so mache ich es. :-D)

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