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Integral e^{wurzel(x)}

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Salasah aktiv_icon

12:54 Uhr, 20.02.2019

Es geht um die Berechnung von

\int_{0}^{4} e^{\sqrt{z}} d z

mit der
Substitutionsformel:

\int_{a}^{b} f (z) d z = \int_{g (a)}^{g (b)} f (g (x)) g ʹ (x) d x

, wobei

z = g (x)

Hier mein Vorgehen:

g (x) = x^{2}

damit

g ʹ (x) = 2 x

und

f (x) = e^{\sqrt{x}}

und damit:

\int_{0}^{4} e^{\sqrt{z}} d z = \int_{g (0)}^{g (4)} e^{x} * 2 x d x = \int_{0}^{16} e^{x} * 2 x d x

Bis hierhin richtig? Oder muss man

∣ x ∣

nehmen? Der Rest läuft dann über partielle Integration, weiß ich.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

13:14 Uhr, 20.02.2019

. .

. bis auf die Grenzen soweit alles gut!

\int_{0}^{4} f (z) d z = \int_{z = 0}^{z = 4} f (z) d z

x = \sqrt{z} \Rightarrow x^{2} = z

ergäbe sich:

\int_{z = 0}^{z = 4} f (z) d z = \int_{x^{2} = 0}^{x^{2} = 4} g (x) d x = \int_{x = 0}^{x = 2} g (x) d x

;-)

Salasah aktiv_icon

13:20 Uhr, 20.02.2019

könnte wenn x^2=4 nicht auch x=-2 sein? :o

HAL9000

14:58 Uhr, 20.02.2019

@Salasah

Um die Anmerkung von Edddi mit den falschen Grenzen zu präzisieren: Richtig geschrieben lautet die allgemeine Substitutionsformel

\int_{g (a)}^{g (b)} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (g (x)) g ´ (x) d x (*)

,

d.h. du hast oben die Grenzen jeweils dem falschen Integral zugeordnet.

Und ja, du kannst (*) mit

g (a) = 0, g (b) = 4

bei

g (x) = x^{2}

durchaus auch im Sinne

a = 0, b = - 2

lesen, es muss dasselbe wie bei

a = 0, b = 2

herauskommen.

Edddi aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.02.2019

. .

. da würd' ich widersprechen wollen:

\int_{0}^{2} 2 x e^{x} d x = 2 \cdot e^{x} |_{0}^{2} = 2 (e^{2} - e^{0}) = 2 (e^{2} - 1)

\neq \int_{0}^{- 2} 2 x e^{x} d x = 2 e^{x} |_{0}^{- 2} = 2 (\frac{1}{e^{2}} - 1)

Die Funktion

2 x e^{x}

ist auch nicht punktsymmetrisch

z

. Ursprung.

Wegen

x = \sqrt{z} \Rightarrow x^{2} = z

(keine Äquivalenzumformung) heißt es wohl auch hier Kontrolle!

;-)

HAL9000

07:32 Uhr, 21.02.2019

Du rechnest falsch: Mit

a = 0, b = - 2

kommt heraus

\int_{0}^{4} e^{\sqrt{z}} d z = \int_{0}^{- 2} e^{\sqrt{x^{2}}} 2 x d x = \int_{0}^{- 2} e^{- x} 2 x d x

,

denn für das im Integrationsintervall geltende

x < 0

haben wir

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{∣ x ∣^{2}} = ∣ x ∣ = - x

.

Dein Argument "keine Äquivalenzumformung" ist hier irrelevant, die Formel

\int_{g (a)}^{g (b)} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (g (x)) g ´ (x) d x

gilt tatsächlich auch für nicht-injektive

g

!!!

Womöglich verwechselt du das ganze mit

\int_{c}^{d} f (z) d z = \int_{g^{- 1} (c)}^{g^{- 1} (d)} f (g (x)) g ´ (x) d x

, diese Formel erfordert tatsächlich Injektivität von

g

. Aber auch da haben wir im vorliegenden Fall

g (x) = x^{2}

die Wahl: Machen wir

g

injektiv durch Einschränkung auf

[0, \infty)

mit dann der Umkehrfunktion

g^{- 1} (x) = \sqrt{x}

, oder aber durch Einschränkung auf

(- \infty, 0]

mit Umkehrfunktion

g^{- 1} (x) = - \sqrt{x}

- beides führt zum richtigen Ergebnis.

EDIT: Hatte ich erst gar nicht gemerkt, aber du hast auch das erste Integral falsch ausgerechnet - richtig ist

\int_{0}^{2} 2 x e^{x} d x = {2 (x - 1) e^{x} ∣}_{0}^{2} = 2 (e^{2} + 1)

Edddi aktiv_icon

15:30 Uhr, 21.02.2019

. .

. zu meinen Thread vom

20.02 - 15 : 26

Uhr muss ich mal dank Hinweis von HAL9000 einen Fehler einräumen.

Habe fälschlicherweise

x e^{x}

e^{x}

integriert. Daraus resultierend stimmen auch die weiteren Aussagen nicht.

Danke nochmal an HAL9000!

;-)

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