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Integral näherungsweise berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

stephan123 aktiv_icon

14:24 Uhr, 20.05.2013

Hallo :-)

Ich hab ein kleines Problem. Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Berechnen Sie näherungsweise das Integral-> von

1 - 5

mit der Gleichung

- x^{2} + 7 \cdot x d x

indem Sie den Integrationsbereich in 4 gleiche teile zerlegen:
Berechnen Sie die Untersumme

U 4

und Obersumme

O 4

1 .)

Ich hab dann die benötigten

y

Werte ausgerechnet:

x 1 - - 2 - - 3 - - 4 - - 5

y 6 - - 10 - - 12 - - 12 - - 6

2 .)

Danach

h

ausgerechnet:
Interval

5 - 1 = 4

Anzahl Teilstücke

= 4 \to \frac{4}{4} = 1

für

h

3 .)

Danach hab ich die Untersumme/Obersumme gebildet:

U 4 = 1 \cdot (6 + 10 + 12 + 12) = 40

U 5 = 1 \cdot (10 + 12 + 12 + 6) = 40

- \to

Irgendwas mach ich falsch, die Lösung müsste

38

und

46.25

geben.
Bitte helft mir! Was hab ich vergessen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Yokozuna aktiv_icon

14:55 Uhr, 20.05.2013

Hallo,

zu

1 .) : y (5) = 10

(nicht

6)

3 .) :

Bei der Untersumme muß man immer den kleineren der beiden Funktionswerte an den Intervallgrenzen nehmen, deshalb ist

U 4 = 1 \cdot (6 + 10 + 12 + 10) = 38

Bei der Obersumme muß man immer den größeren der beiden Funktionswerte an den Intervallgrenzen nehmen, deshalb ist

O 4 = 1 \cdot (10 + 12 + 12 + 12) = 46

Woher da

46.25

bei der Musterlösung kommt, weiß ich nicht (ich vermute einen Druckfehler).

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

15:04 Uhr, 20.05.2013

Ich muß mich korrigieren. Es ist nicht der kleinste/größte Wert an den Intervallgrenzen zu nehmen, sondern jeweils Infimum/Supremum im Intervall. Dadurch lautet die Obersumme

O 4 = 1 \cdot (10 + 12 + 12.25 + 12) = 46.25

Im 3. Intervall wird das Supremum bei

x = 3.5

angenommen und hat den Wert

12.25

. Dann hat das mit

46.25

seine Richtigkeit.

Viele Grüße
Yokozuna

stephan123 aktiv_icon

15:07 Uhr, 20.05.2013

vielen Dank :-))

wenn du noch zeit hast könntest du mir noch schnell bei einer anderen Aufgabe helfen:-)
Im Anhang findest du die Aufgabe dazu. Nr.3 mit der Skizze. Ich hab keinen Plan wie ich da etwas berechnen kann. Könntest du mir einen Anhaltspunkt geben?

Yokozuna aktiv_icon

15:10 Uhr, 20.05.2013

Ich sehe leider keinen Anhang. Da ist wohl was schiefgegangen.

stephan123 aktiv_icon

15:12 Uhr, 20.05.2013

anhang

stephan123 aktiv_icon

15:12 Uhr, 20.05.2013

3, 4

und 5 sind alle gleich

Yokozuna aktiv_icon

15:20 Uhr, 20.05.2013

Ist das Thema immer noch Unter- und Obersumme? Eigentlich steht davon nichts da. Dann würde ich die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse berechnen, indem ich die Fläche in leicht zu berechnende Dreiecks- und Rechtecksflächen zerlege und die Teilflächen aufsummiere, wobei Flächen unterhalb der x-Achse negativ zu nehmen sind.

Viele Grüße
Yokozuna

stephan123 aktiv_icon

15:23 Uhr, 20.05.2013

Es geht einfach um Integralrechnungen.

stephan123 aktiv_icon

15:25 Uhr, 20.05.2013

Einen anderen weg gibt es in diesem Fall dann nicht?

Yokozuna aktiv_icon

15:38 Uhr, 20.05.2013

Nachdem man das Integral als Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse interpretieren kann, würde ich das genau so machen, wie ich vorgeschlagen habe. Die Längen der Grundlinien und der Höhen kann man leicht aus dem Diagramm ablesen. Bei Aufgabe 4 ist auch eine trapezförmige Fläche dabei. Bei Aufgabe 3 hätte man

z . B

. 5 Teilflächen.

Z . B

. geht das erste Teildreieck von

x = - 7

bis

x = - 5

(also Grundlinie ist 2 Einheiten lang) und die Höhe ist

2,

damit ist die Teilfläche

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

. Das zweite Teildreick geht von

- 5

bis

- 1,5

(Grundlinie

= 3,5)

und die Höhe ist ebenfalls

2,

damit ist diese Teilfläche

- \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 2 = - 3,5

(Minus deshalb, weil das Dreieck unterhalb der x-Achse liegt.

Eine andere Möglichkeit wäre noch, die Geradengleichungen der Geradenstücke zu berechnen, aus denen sich die Kurve zusammensetzt und dann das Integral in Teilintegrale über die Geradenstücke aufteilt und wie üblich integriert.

Viele Grüße
Yokozuna

stephan123 aktiv_icon

15:55 Uhr, 20.05.2013

Ich bekomm dann bei Nr. 3 für die trapezfläche auf der rechten seite

42.5

und auf der linken für den oberen Teil

10.5

und den negativen

3.5 = 7

. Ich bekomm somit eine Fläche von

49.5

. in der lösung steht daass es

41

geben müsste. Habe es mehrmals durchgerechnet. hab ich wass falsch gemacht?

stephan123 aktiv_icon

16:02 Uhr, 20.05.2013

alles kalr hab den fehler selbst gefunden :-)

vielen dank für deine hilfe!! :-)))))

Yokozuna aktiv_icon

16:10 Uhr, 20.05.2013

41

ist richtig, also hast Du Dich wohl irgendwo verrechnet. Ich weiß nicht, wie Du auf Deine Werte gekommen bist. Ich habe
1. Teildreieck von

- 7

bis

- 5 : A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

2. Teildreieck von

- 5

bis

- 1,5 : A_{2} = - \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 2 = - 3,5

(Minus, da unterhalb x-Achse)
3. Teildreieck von

- 1,5

bis

3 : A_{3} = \frac{1}{2} \cdot 4,5 \cdot 6 = 13,5

4. Teilrechteck von 3 bis

7 : A_{4} = 4 \cdot 6 = 24

5. Teiltrapez von 7 bis

8 : A_{5} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (6 + 4) = 5

Insgesamt: Integral von

- 7

bis

8 : A = 2 - 3,5 + 13,5 + 24 + 5 = 41

Viele Grüße
Yokozuna

stephan123 aktiv_icon

16:13 Uhr, 20.05.2013

und was ist mit der fläche oberhalb des ersten dreiecks?(müsste 7 sein)

Yokozuna aktiv_icon

16:22 Uhr, 20.05.2013

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, von welcher Fläche Du sprichst. Bei mir geht das erste Teildreieck von

x = - 7

bis

x = - 5

und ist 2 hoch (Fläche

2)

. Das nächste Teildreick geht von

x = - 5

bis

x = - 1,5,

ist 2 hoch und liegt unterhalb der x_Achse (Fläche

- 3,5)

usw.
Vielleicht kannst Du mal die Koordinaten der Eckpunkte der Fläche angeben, die Du meinst.

stephan123 aktiv_icon

16:49 Uhr, 20.05.2013

-5\2, -5\0, -2\2, -2\0 ich muss ja die ganze fläche des dreiecks berechnen. oder lieg ich das falsch??

Yokozuna aktiv_icon

16:58 Uhr, 20.05.2013

Mit dem Integral berechnet man die Fläche zwischen

f (x)

und der x-Achse. Die Fläche, die Du meinst, liegt nicht zwischen

f (x)

und der x-Achse und trägt deshalb auch nichts zum Integral bei (die Fläche, die Du meinst, liegt oberhalb der x-Achse,

f (x)

liegt aber in diesem Bereich unterhalb der x-Achse).

stephan123 aktiv_icon

17:06 Uhr, 20.05.2013

ich denke ich verstehe was du meinst. könntest du mir noch schnell die punkte vom dreieck

- 7

bis

- 5

geben?

Yokozuna aktiv_icon

18:38 Uhr, 20.05.2013

Sorry, ich mußte mal für eine Stunde weg. Ich habe noch einmal ein Bild von der Funktion in der Aufgabe 3 gemacht. Ich habe die Teilflächen mit

A 1

bis

A 5

so beschriftet, wie in meinem Lösungsvorschlag oben. Die Teilflächen, die über der x-Achse liegen, habe ich gelb eingefärbt und die Teilfläche unterhalb der x-Achse blau. Ich hoffe das Bild hilft alle Unklarheiten zu beseitigen.

Viele Grüße
Yokozuna

stephan123 aktiv_icon

19:05 Uhr, 20.05.2013

vielen dank für die skizze :-) jetzt ist es klar :-))))

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