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Integrieren der Funktion cos(x)^4

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: integrieren

Mandi123 aktiv_icon

15:26 Uhr, 21.10.2016

Hallo,
Ich versuche gerade

cos (x)

hoch 4 zu integrieren und habe es ausgerechnet(falsch). Ich bin es bisher 5 mal durchgegangen und finde keinen rechenfehler, also liegt es denk ich mal an meinem ansatz.
Ich darf nur partiell integrieren( der aufgabe nach).
Im bild ist meine rechnung.
Ps:

{cos (x)}^{2}

musste ich in der vorherigen aufgabe ausrechnen habe es also schon gegeben.

Bild: www.bilder-upload.eu/show.php?file=f66abb-1477057959.jpg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

03:49 Uhr, 22.10.2016

Hallo,

wenn I

(z) = \int_{0}^{z} {cos}^{4} (x) d x

ist, dann ist

I

(π) = \int_{0}^{π} {cos}^{4} (x) d x < \int_{0}^{π} 1 d x = π

Deshalb kann Dein Einwand, dass die Lösung

\frac{8 \cdot π}{3}

sein muss, definitiv falsch! Mein Vorschlag:

\frac{3 \cdot π}{8}

Errechnet auf diesem Wege (beim unbestimmten Integral verzichte ich der Übersichtlichkeit halber auf die Konstante

c) :

\int {cos}^{4} (x) d x = \int {cos}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x) d x = \int {cos}^{2} (x) \cdot (1 - {sin}^{2} (x)) d x

= \int {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x) d x = \int {cos}^{2} (x) d x - \int {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{2} (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{x}{2} + \int sin (x) \cdot {cos}^{2} (x) \cdot (- sin (x)) d x

Jetzt die partielle Integration:

u = sin (x) \Rightarrow u' = cos (x)

v' = {cos}^{2} (x) \cdot (- sin (x)) \Rightarrow v = \frac{1}{3} \cdot {cos}^{3} (x)

\Rightarrow \int {cos}^{4} (x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{x}{2} + sin (x) \cdot \frac{1}{3} \cdot {cos}^{3} (x) - \int cos (x) \cdot \frac{1}{3} \cdot {cos}^{3} (x) d x

\int {cos}^{4} (x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} \cdot sin (x) \cdot {cos}^{3} (x) - \frac{1}{3} \cdot \int {cos}^{4} (x) d x

\frac{4}{3} \cdot \int {cos}^{4} (x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{3} \cdot sin (x) \cdot {cos}^{3} (x)

\int {cos}^{4} (x) d x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{3}{4} \cdot \frac{x}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot sin (x) \cdot {cos}^{3} (x)

\int {cos}^{4} (x) d x = \frac{3}{8} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{3 \cdot x}{8} + \frac{1}{4} \cdot sin (x) \cdot {cos}^{3} (x)

\Rightarrow I (π) = \int_{0}^{π} {cos}^{4} (x) d x = {[\frac{3}{8} \cdot sin (x) \cdot cos (x) + \frac{3 \cdot x}{8} + \frac{1}{4} \cdot sin (x) \cdot {cos}^{3} (x)]}_{0}^{π}

= \frac{3}{8} \cdot sin (π) \cdot cos (π) + \frac{3 \cdot π}{8} + \frac{1}{4} \cdot sin (π) \cdot {cos}^{3} (π) - \frac{3}{8} \cdot sin (0) \cdot cos (0) - \frac{3 \cdot 0}{8} - \frac{1}{4} \cdot sin (0) \cdot {cos}^{3} (0)

= \frac{3}{8} \cdot 0 \cdot cos (π) + \frac{3 \cdot π}{8} + \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot {cos}^{3} (π) - \frac{3}{8} \cdot 0 \cdot cos (0) - 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot {cos}^{3} (0)

= \frac{3 \cdot π}{8}

Die händische Probe hab ich mir geschenkt, weil:

www.wolframalpha.com/input/?i=derive+(3%2F8sin(x)cos(x)+%2B+(3x)%2F8+%2B+1%2F4sin(x)cos%5E3(x))

PS: Bei Deinem Lösungsversuch folgt bei Dir aus

u = {cos}^{2} (x)

dass

u' = 2 \cdot cos (x)

ist und das ist gleich bei der ersten partiellen Integration ein Fehler. Somit war der komplette Rest nicht mehr zum richtigen Ergebnis zu bewegen!

rundblick aktiv_icon

12:24 Uhr, 22.10.2016

.
siehe

\to

http//www.onlinemathe.de/forum/Integral-der-Funktion-cosx-4

ist ganz schön dreist, die gleiche Aufgabe nochmal zu bringen,
und auf schon vorhandene Antworten überhaupt nicht zu reagieren.
.. aber was kümmert das schon einen servilen Bummerang..

.

Bummerang

13:32 Uhr, 22.10.2016

Hallo rundblicksloser,

ist es nicht eher so, dass der von Dir beantwortete Thread der zweite ist und somit nicht dieser Thread dreisterweise erstellt wurde sondern der andere, den Du beantwortet hast? Wenn ich doppelte Posts sehe, also mehrere von einem User erstellte Threads mit der selben Frage, kennzeichne ich auf Grund meiner vorhandenen sozialen Kompetenz einen der beiden als Doppelpost, bevor ich den anderen fachlich beantworte, damit keine doppelten Arbeiten durch andere Forumsmitglieder anfallen. Wenn ich dann nach einem wunderschönen langen Abend mit Freunden nach Hause komme und nur die paar Minuten nutzen will, bis das Bad frei wird, dann suche ich nur nach unbeantworteten Threads oder vielleicht noch nach einem von mir zuvor beantworteten Thread. Stundenlange Recherchen möchte ich mir da nicht leisten, da das, was da auf mich noch gewartet hat, einfach unendlich viel besser ist als hier Doppelposts zu suchen! Aber das kannst Du nicht verstehen! Aber auch Du wirst das vielleicht noch irgendwann erfahren, wenn es Dir mal gelingen sollte, Deine Sozialdebilität abzulegen. Bis dahin achte einfach etwas mehr auf Körperteile, die Du in Deiner Lage besonders brauchst,

z . B

. Kopf und Hände! Natürlich nur damit Du hier Dein Publikum suchen kannst!

rundblick aktiv_icon

16:07 Uhr, 22.10.2016

.

das unstrukturierte , saudumm-primitive Gesabber zu dir als Bummerang zurück.

und damit du üben kannst, Daten richtig zu lesen -
hier nochmal übersichtlich :

\to

deine "fleissige" Antwort hast du am

22.10

03.49

abgelassen (siehe oben)

\to

21.10

. um

15.26

hatte ich die Antwort an den Fragesteller gesendet.

\to

versuche nun selbst die wahre Reihenfolge der Antworten herauszufinden

. .

.

.

Bummerang

00:55 Uhr, 23.10.2016

Hallo rundblickloser,

"ist es nicht eher so, dass der von Dir beantwortete Thread der zweite ist und somit nicht dieser Thread dreisterweise erstellt wurde sondern der andere, den Du beantwortet hast?"

Schau doch bitte mal nach, ob Du irgendwo Informationen dazu findest, was ein Thread ist und wie sich der vom Post unterscheidet. Dann wirst Du erkennen, welchen Unsinn Du in Deinem letzten Post verzapft hast!

Mandi123 aktiv_icon

18:27 Uhr, 24.10.2016

Vielen Dank für die ausführliche Antwort habs jetzt verstanden und kann in Ruhe mein Übungsblatt abgeben :-D)
Und wegen dem anderen Post das tut mir leid ich dachte ich hätte ihn gelöscht, da ich mir nicht sicher war ob ich es im Schüler oder Studentenforum posten sollte hab ich es geändert und dachte ich hätts im anderen gelöscht ^^

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