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Interpolation von Mittelwerten
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: interpolation, Stetigkeit
 
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Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem: Ich habe eine Zeitreihe mit Werten in konstanten Zeitabständen. Diese Werte stellen jeweils den Mittelwert des aktuellen Intervalls dar. (Also von bis Der einfachste Ansatz wäre konstante Interpolation, also einen Messwert für sein gesamtes Interval fortzuführen. Jetzt möchte ich aber eine stetige Funktion und keine Sprünge. Daher habe ich lineare Interpolation angewendet. Allerdings ist ja dann die Eigenschaft des Mittelwertes verletzt. Also der Mittelwert von bis ist danach nicht mehr derselbe. Kennt ihr eine Interpolationsmethode die auf meinen Fall passt? Also eine stetige Funktion produziert, die aber den Mittelwert erhält? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Ok, du möchtest eine stetige stückweise lineare Funktion aufstellen, so dass bei vorgegebenen Werten gilt, sagen wir für ? Da bleibt sogar ein Freiheitsgrad übrig: Wenn du beispielsweise festlegst folgt dann der Rest über Rekursion für . Das Ergebnis kann aber sehr unerfreulich "gezackt" aussehen, je nach Wahl von Startwert - wünschenswert ist vermutlich, dass man so wählt, dass die Totalvariation minimiert wird - aber vielleicht auch eher die Summe der Abweichungsquadrate (wie so oft in der Statistik) ? |
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Hi, ich stehe noch ein bisschen auf dem Schlauch... (bin auch kein Mathematiker) :-D) Lass uns mal die Notation etwas anpassen. ist die kontinuiertliche Variable ich habe Wert für . es gilt jeweils: ist der arithmetische Mittelwert für den zeitraum von bis also: Nun kann ich aber den Mittelwert nicht so einfach über eine Summe ausdrücken. Wir wollen ja eine kontiniuierliche Funktion mit beliebig vielen Zwischenpunkten zwischen den . Sie sollte stetig sein, muss aber nicht glatt sein. Hast du hier eine Idee? |
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Deine t-Werte sind Für das Intervall gilt der Funktions/Mittelwert . Jede Gerade (bzw. Strecke) durch den Punkt erfüllt die Anfordung, dass der Mittelwert in dem Intervall ist. Für das erste Intervall kann man nun eine beliebige Strecke durch wählen, also zB mit beliebiger Steigung oder, wie von HAL9000 angegeben, mit beliebigem Funktionswert . Die Strecke, welche im nächsten Intervall die Interpolationsfunktion spielen soll muss aber ihren Anfangspunkt im Endpunkt der ersten haben, weil du ja Stetigkeit forderst. Somit ist sie durch diesen Anfangspunkt und den Punkt vollständig festgelegt un das gilt auch für alle weiteren. Hier Beispiele für dieselben Zufalls-Grunddaten (mit der Wahl welche sich nur durch die Wahl des Anfangspunkts unterscheiden. Einmal und das andere Mal und am Ende für den nach dem Vorschlag von HAL9000 optimierten Wert    Nicht immer werden die Zacken durch den "optimalen" Wert von aber so stark abgemildert, das hängt natürlich von den Ausgangsdaten ab. Hier ein Beispiel mit andern Zufallsdaten und "optimiertem"  |
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