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Ist das hinreichende Kriterium immer gültig?

Schüler Gymnasium,

Tags: Extrema, hinreichendes Kriterium

anonymous

20:15 Uhr, 28.08.2015

Hallo alle zusammen,
es gibt ja zwei hinreichende Kriterien für lokale Extrema.
Das erste hinreichende Kriterium ist ja folgendes:

f'' (x_{E}) \neq 0

Allerdings versagt dieses Kriterium manchmal.

Danm gibt es ja noch ein anderes Kriterium, nämlich

f' (x_{E})

muss an dieser Stelle Vorzeichenwechsel haben

Ist dieses Kriterium IMMER gültig? Also könnte ich auf das Kriterium

f'' (x_{E}) \neq 0

verzichten und immer nur das andere (mit Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) benutzen?
Ich würde ja sagen, denn es fällt mir kein Grund ein, warum das zweite hinreichende Kriterium (Vorzeichenwechsel von

f')

,,Schwächen" haben sollte.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Eva88 aktiv_icon

20:40 Uhr, 28.08.2015

f'' (x)

kann ja nur 0 oder ungleich 0 sein.

Ist

f'' (x) = 0,

so liegt ein Wende - oder Sattelpunkt vor.

Dies ist dann mit der hinreichenden Bedingung für Wendepunkte zu prüfen.

abakus

21:28 Uhr, 28.08.2015

Hallo NeymarJunior,

deine Aussage "Das erste hinreichende Kriterium ist ja folgendes:..."
ist falsch. Das würde ja bedeuten, dass alle Funktionen an den Stellen, wo die zweite Ableitung nicht Null ist, zwingend Extremstellen haben müssten.
Du hast die erforderliche UND-Vernüpfung mit "erste Ableitung ist Null" völlig unterschlagen

abakus

21:33 Uhr, 28.08.2015

Hallo Eva88,
deine Aussage "Ist f′′(x)=0, so liegt ein Wende - oder Sattelpunkt vor" ist in dieser absoluten Form falsch, wie ein einfaches Gegenbeispiel zeigt:
Für die Funktion

f (x) = x^{4}

gilt

f ʺ (x) = 12 x^{2}

, und

f ʺ (0)

ist somit 0.
Trotzdem hat die Funktion

f (x) = x^{4}

an der Stelle x=0 weder einen Sattel- noch einen Wendepunkt, sondern einen stinknormalen Tiefpunkt.

anonymous

08:10 Uhr, 29.08.2015

Hallo Gast62,
stimmt, ich habe die notwendige Bedingung völlig außer acht gelassen.
Neuer Versuch:

f' (x_{E}) = 0 \land f'' (x_{E}) \neq 0

Es gibt ja noch ein anderes hinreichendes Kriterium, in Verbindung mit dem notwendigen Kriterium:

f' (x_{E}) = 0 \land

Vorzeichenwechsel von

f'

an der Stelle

x_{E}

Das obere hinreichende Kriterium

(f'' (x_{E}) \neq 0)

versagt ja manchmal.
Was ist mit dem anderen hinreichenden Kriterium (Vorzeichenwechsel von

f'

an der Stelle

x_{E})

?
Ist dieses Kriterium immer gültig?

;-)

anonymous

17:53 Uhr, 29.08.2015

Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?

-Wolfgang-

18:45 Uhr, 29.08.2015

Hallo Imahn,

f' (x_{0}) = 0

und Überprüfung des Vorzeichenwechsels von

f'

bei

x_{0}

führt IMMER zum Ergebnis:

VZW von

+ \to -

ergibt lokales Maximum
VZW von

- \to +

ergibt lokales Minimum

kein VZW ergibt Sattelpunkt

Gruß Wolfgang

anonymous

21:20 Uhr, 29.08.2015

Abend Wolfgang,
das Resultat hatte ich erwartet, war mir aber nicht ganz sicher.
Danke schön!

Liebe Grüße
NeymarJunior

anonymous

21:20 Uhr, 29.08.2015

Abend Wolfgang,
das Resultat hatte ich erwartet, war mir aber nicht ganz sicher.
Danke schön!

Liebe Grüße
NeymarJunior

Roman-22

11:58 Uhr, 30.08.2015

>

Ich würde ja sagen, denn es fällt mir kein Grund ein, warum das zweite hinreichende Kriterium (Vorzeichenwechsel von

f')

,,Schwächen" haben sollte.

Wie prüfst du denn auf diesen Vorzeichenwechsel? Setzt du einfach

x_{E} \pm 10^{- 8}

in die Ableitung ein und achtest auf die Vorzeichen? Die Schwäche wäre doch dann, dass sich zwischen

x_{E}

und

x_{E} + 10^{- 8}

Beliebiges abspielen könnte. Da könnten tausend Nullstellen dazwischen sein, oder Pole, etc.
Wenn du den Vorzeichenwechsel aber sauber mit Grenzwerten untersuchst, bist du damit de facto ja auch schon bei den Ableitungen höherer Ordnung.

>

Das obere hinreichende Kriterium (f''(xE)≠0) versagt ja manchmal.
?? Wann versagt es? Das stimmt doch nicht.
Nur, wenn

f' (x_{E}) = 0

und

f'' (x_{E}) = 0

ist, darf man nicht voreilig auf einen Sattelpunkt schließen. Vielmehr muss man dann immer weiter ableiten und einsetzen und zwar solange bis das erste Mal die Ableitung

y^{(n)} (x_{E}) \neq 0

ist. Ist

n

gerade, dann handelt es sich je nach Vorzeichen um einen Hoch- oder Tiefpunkt, ist

n

aber ungerade, so handelt es sich um einen Sattelpunkt und das Vorzeichen entscheidet, ob es sich um eine "Links-rechts-Kurve" handelt oder umgekehrt.
Stellen, die in mehr als zwei Ableitungen mit der Kurventangente übereinstimmen nennt man auch Flachpunkte oder Flachpunkte höherer Ordnung. Diese spielen beispielsweise bei manchen kinematischen Getrieben eine Rolle, wenn man sog. Geradführungen konstruieren möchte.

R

anonymous

14:44 Uhr, 30.08.2015

Roman-22, vielen Dank, dass du noch einmal nachhakst!!

1. ,,Wie prüfst du denn diesen auf Vorzeichenwechsel?"
Folgendes Beispiel:
Untersuche die Funktion

f (x) = \frac{1}{24} x^{4} - \frac{1}{6} x^{3}

auf Extrema.

f' (x) = \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}

f' (x) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0 \lor x_{2} = 3

Ich prüfe auf Vorzeichenwechsel von

f',

indem ich zum Beispiel

f' (- 1)

und

f' (2)

ausrechne. Dann gucke ich, was

x_{1}

ist (Tiefpunkt, Hochpunkt oder Sattelpunkt). Für

x_{2}

mache ich das, indem ich

f' (1)

und

f' (6)

ausrechne.

Was meinst du? Denn dann hätte ich die Werte der Nullstellen mitberücksichtigt.

2. Wie könnte ich Vorzeichenwechsel mithilfe von Grenwerten untersuchen?

3. ,,Wann versagt es? Das stimmt doch nicht."
Ich meine Folgendes:
Das hinreichende Kriterium I (. . .

\land f'' \neq 0)

ist in seiner Anwendbarkeit begrenzt.
Beispiel:

f (x) = x^{3}

und

g (x) = x^{4}

. Im Falle von

x^{3}

liegt ein Sattelpunkt vor, im Falle von

x^{4}

ein Tiefpunkt.

4. Wie kommt man auf die Methode mit

y^{n} (x_{E}) \neq 0

?
Ich habe es bei

x^{4}

probiert und es klappt. :-)

Danke im Voraus!
NeymarJunior

-Wolfgang-

15:03 Uhr, 30.08.2015

zu 1. : Deine Ausführungen sind richtig.

zu 2. : allein mit Grenzwerten (von

f')

kannst du beim VZW nur arbeiten, wenn

f'

nur eine Nullstelle hat

W

Roman-22

19:28 Uhr, 30.08.2015

ad 1 und

2) :

Nachbarpunkte einsetzen funktioniert bei einfachen Funktionen natürlich, wenn, wie bei Polynomfunktionen, die Anzahl der Nullstellen (von

f' (x))

überschaubar ist und du sicherstellst, dass du dich nicht "zu weit" weg von der betrachteten Nullstelle über eine weitere hinweg bewegst. Man kann vermutlich darüber diskutieren, ob im Falle einfacher Polynomfunktionen nicht "Zeichnen und Hinschauen" genauso sauber ist. Mit einer korrekten verbalen Begründung denke ich, dass beides OK ist.
Problemeatisch wird es etwa in der Umgebung von Oszillationsstellen (von

f')

. Hier kannst du, auch wenn du dich von einer Nullstelle nur sehr wenig weg bewegst, nicht immer sicher sein, nicht eine weitere Nullstelle übersprungen zu haben. zB

sin (\frac{1}{x})

.
Was den Vorzeichenwechsel anlangt, so geht es doch um die Vorzeichen von

f \cdot (x_{0} + ε)

und

f' (x_{0} - ε)

für beliebig kleines

ε > 0

. Anders gesagt, formal reicht es eigentlich nicht, das Vorzeichen nur an einer Stelle zu untersuchen, sondern es müsste für ein ganzes offenes Intervall gezeigt werden.
Aber so heiß wird das in der Schulmathematik nicht gegessen und üblicherweise wird man dort auch nicht mit sonderlich "bösartigen" Funktionen konfrontiert.

ad

3)

Die Voraussetzung für das hinreichende Kriterium ist hier eben nicht erfüllt, da

f'' (0) = 0

ist. Das Kriterium versagt nicht, es ist eben nicht anwendbar und man muss sich was anderes überlegen. Vermutlich hast du das aber auch so gemeint.

ad

4)

Dass das Kriterium klappt, wundert mich nicht ;-)
Nachlesen kannst du es vielfach, zB:
de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Hinreichendes_Kriterium_unter_Verwendung_weiterer_Ableitungen
http//www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//extrema/k01s99.htm

R

anonymous

20:29 Uhr, 30.08.2015

Wolfgang und Roman-22,
ich hätte noch zwei Fragen. :-)

1. Hättet ihr irgendeine Beispielrechnung für das Ermitteln vom Vorzeichenwechsel mithilfe der Untersuchung von Grenzwerten? Irgendwie weiß ich nicht richtig, was mit Grenzwerten ermitteln gemeint sein soll.

2. Roman-22, du hast geschrieben:

,,

Anders gesagt, formal reicht es eigentlich nicht, das Vorzeichen nur an einer Stelle zu untersuchen, sondern es müsste für ein ganzes offenes Intervall gezeigt werden."

Also dann könnte ich ja nicht nur für eine Stelle das Vorzeichen berechnen, sondern für zwei (die nicht über eine Nullstelle liegen) und dann argumentieren, dass diese zwei Stelen ein Intervall sind.
Also nehmen wir mal an, dass ich für

f' (x) = 0

bei einer Funktion die Stellen

x = 2 \lor x = 6

raushabe. Also gucke ich mir die Vorzeichen von

x = 3

und

x = 4

an.
Allerdings sollte die Funktion dann ,,einfach" sein.
Was meint ihr?

Liebe Grüße
NeymarJunior

-Wolfgang-

20:59 Uhr, 30.08.2015

Beispiel für GW (ist aber eigentlich unnötig umständlich):

die Funktion

f (x) = x^{3}

hat die Ableitung

f' (x) = 2 x^{2}

letztere hat die EINZIGE Nullstelle

x = 0,

ist in

ℝ

stetig und hat für

x \to \infty

jeweils den

Grenzwert

+ \infty,

also keinen VZW bei

x = 0 \to

Sattelpunkt bei

x = 0

.

Die Betrachtung bringt - wie gesagt - keinerlei Vereinfachung, aber du hattest danach gefragt :-)

W

Roman-22

21:01 Uhr, 30.08.2015

>

Also dann könnte ich ja nicht nur für eine Stelle das Vorzeichen berechnen, sondern für zwei (die nicht über eine Nullstelle liegen) und dann argumentieren, dass diese zwei Stelen ein Intervall sind.

Zwei Stellen allein sind kein Intervall. Es geht um das Vorzeichen der Funktion in der (ganzen) links- und der rechtsseitigen (kleinen)

ε

-Umgebung von

x_{0}

.
Aber du hast Recht, dass du bei "einfachen" Funktionen erst alle Nullstellen und auch alle Polstellen, Sprungstellen, etc. (auch dort kann ein Vorzeichenwechsel stattfinden) ermittelst und dann eben für einen Wert

x_{0} + d

das Vorzeichen des Funktionswerts bestimmst. Wenn im Intervall

(x_{0}, x_{+} d]

dann keine Null- oder Unstetigkeitsstelle liegt, kannst du damit und der Stetigkeit in dem Intervall argumentieren, dass die Funktionswerte aller Werte aus dem Intervall das gleiche Vorzeichen haben.

R

-Wolfgang-

21:05 Uhr, 30.08.2015

In meinem letzten Post muss natürlich

f' (x) = 3 x^{2}

stehen! Ändert aber nichts am Rest der Ausführungen.

W

anonymous

21:28 Uhr, 30.08.2015

ad Wolfgang: Super! Danke! ,,Errare humanum est." ;-)

ad Roman: Genial! Auch dir ein große Dankeschön!

Jetzt habe ich ein bisschen das Problem verstanden: Bei Funktionen mit

x^{6}

und

x^{5}

wird es tatsächlich ein bisschen komplizierter... Aber leider macht man so etwas nicht in der Schule! Sehr schade!

NeymarJunior

anonymous

21:35 Uhr, 30.08.2015

ad Wolfgang: Super! Danke! ,,Errare humanum est." ;-)

ad Roman: Genial! Auch dir ein große Dankeschön!

Jetzt habe ich ein bisschen das Problem verstanden: Bei Funktionen mit

x^{6}

und

x^{5}

wird es tatsächlich ein bisschen komplizierter... Aber leider macht man so etwas nicht in der Schule! Sehr schade!

NeymarJunior

anonymous

21:35 Uhr, 30.08.2015

ad Wolfgang: Super! Danke! ,,Errare humanum est." ;-)

ad Roman: Genial! Auch dir ein große Dankeschön!

Jetzt habe ich ein bisschen das Problem verstanden: Bei Funktionen mit

x^{6}

und

x^{5}

wird es tatsächlich ein bisschen komplizierter... Aber leider macht man so etwas nicht in der Schule! Sehr schade!

NeymarJunior

wubbbo aktiv_icon

22:27 Uhr, 14.09.2015

Habe nur kurz über die Diskussion drübergelesen. Vielleicht hilft dies:
Eine Funktion, bei der alle hinreichenden Kriterien versagen, ist

f (x) = 2 x^{2} + x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x})

für

x < > 0

und

f (x) = 0

für

x = 0

.
Problematische Stelle ist

0,

an den anderen Nullstellen der Ableitung muss man das Untersuchungsintervall nur klein genug machen, um das VZW-Kriterium zu nutzen.
Grund ist, dass sich bei 0 die Nullstellen der Ableitung "häufen". Immer(!) wenn eine Nullstelle der Ableitung Platz nach links und rechts hat, also ein Abstand größer 0 vorliegt, klappt das hinreichende Kriterium mit dem VZW der 1. Ableitung und es ist dann auch notwendig(!).
Keine Probleme macht

z

. B.

f (x) = sin (x),

obwohl die Funktion ja unendlich viele Nullstellen in der 1. Ableitung hat - aber halt voneinander entfernte.
Bei den "einfachen" Funktionen in der Schule hat man ja sogar fast immer endlich viele NS in der Ableitung, oft maximal 3 bis 4. Da gibts überhaupt keine Schwierigkeiten.

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