Ist ln(x²) = 2ln(x) wirklich wahr?

Hallo Mathevolk,
das Logarithmusgesetz besagt:

"Für Potenzen mit reellem Exponent b gilt die Regel:

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$
Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis."

Einverstanden! Also versuche ich es mal mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Laut Gesetz gilt also :

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ = ${\displaystyle 2*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Wenn ich das jetzt Plotte ( z.B. in Geogebra), dürften sich ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ nicht unterscheiden. Denn sie sind ja gleich! ( siehe Gesetz ! )

Aber Geogebra liefert ein Ergebnis welches sich teilweise unterscheidet.

Zwar stimmt g(x)= 2ln(x) mit dem rechten "Ast" von f(x)=ln(x²) überein, jedoch nicht mit dem linken Ast!

Ich habe im Anhang zwei Bilder der Funktionen hinzugefügt, um mein Frag doch etwas zu verdeutlichen.

Kann mir jemand erklären warum das so ist? Laut Wikipedia müsste das Gesetz doch stimmen und die Funktionen müssten exakt übereinstimmen? Denn so wie es jetzt ist, ist der Wertebereich von g(x) nur eine Teilmenge von dem Wertebereich der Funktion f(x)

Über Kritik , Diskussionen o.ä. würde ich mich freuen.

Gruß

euer Momi

Hallo mathos,

danke für deine schnelle Antwort :)

Wenn ln(x²) = 2ln(|x|) ist, dann wäre ich einverstanden! Denn mit der Bedingung wäre auch der linke Ast "zu produzieren"

Aber in sämtlichen Foren, Büchern etc. steh immer wieder, dass ln(x²) = 2ln(x) gilt.

Kann doch nicht sein , dass so viele Bücher den selben Fehler haben?