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Kegelschnitt aus 3D-Matrix zeichnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Hyperbel, Kegelschnitt, transformation

Kokujou aktiv_icon

13:04 Uhr, 16.04.2017

Ich weiß, dass eine 3x3-Matrix angeblich alle Informationen zur KOnstruktion eines Kegelschnitts bereithält.
Ich weiß auch dass die Kegelschnittgleichung:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
ist.
Ich weiß aber nicht wie ich diesen Graphen jetzt zeichnen soll! Eine Funktion f(x)=xy existiert nicht aber darauf läuft das ganze hinaus! Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung was ich hier mache und wälze schon den ganzen Tag Google.

Ich bin verzweifelt und brauche Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Hyperbeln

Femat aktiv_icon

13:56 Uhr, 16.04.2017

Ich meine, das hat was mit Hauptachsentransformation zu tun.

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm

http//mathekurs.ch/pdf/weitere_Themen/Lineare%20Algebra/hauptachsen.pdf

Roman-22

14:55 Uhr, 16.04.2017

Von deinen Ausführungen her ist schwer festzustellen, wo du Probleme hast.
Vieleicht hilft dir
http//www.mathepedia.de/Kegelschnitte.aspx

Kokujou aktiv_icon

15:30 Uhr, 16.04.2017

Eigentlich hatte ich schonmal geantwortet aber das hat wohl nicht so funktioniert.

Ich habe folgende Matrix:

101

011

111

Und daraus ergibt sich diese Formel:

x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 1 = 0

mit Hauptachsentransformation komme ich dann auf:

f (x) = {(1 + x^{2})}^{0.5}

wenn ich das noch richtig im Kopf habe. Damit bekomme ich jetzt eine halbe Ellipse. Wie komm ich an die andere Hälfte? die wäre ja dann logischerweise

- f (x)

aber wie kriege ich das in die selbe Formel? Geht das überhaupt? Oder ist das dann vielleicht ein Spezialfall dr sich graphisch nicht darstellen lässt?

Roman-22

15:53 Uhr, 16.04.2017

>

mit Hauptachsentransformation komme ich dann auf:

> f (x) = (1 + x 2) 0.5

Durch eine Hauptachsentransformation ergibt sich diese Wurzel sicher nicht.
Außerdem scheinst du in deiner Rechnung, die du leider nicht zeigst, zumindest einen Fehler zu haben
Und dann sind diese

x

und

y

ja vielleicht nicht die gleichen wie ursprünglich?

\to

andere Bezeichnung.

>

Damit bekomme ich jetzt eine halbe Ellipse
Mit deine,m Ergebnis wohl kaum. Das wäre eine "halbe" Hyperbel.

Hauptachsentrafo ist hier wie mit Kanonen auf Spatzen schießen, sieht man doch die quadratsiche Ergänzungen

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

nahezu schon mit freiem Auge.

>

Oder ist das dann vielleicht ein Spezialfall dr sich graphisch nicht darstellen lässt?
Nur, wenn sich deiner Meinung nach ein Kreis nicht darstellen lässt ;-)

Kokujou aktiv_icon

20:56 Uhr, 16.04.2017

Vergiss bitte nicht, dass ich ein totaler Laie bin! Ich habe wirklich keine Ahnung von der Materie. Meine Profs schmeißen mich total ins Kalte Wasser und erwarten dass ich mir das schon irgendwie zusammenklaube.

Die Aufgabe lautet aus einer beliebigen Parabel einen Kegelschnitt zu konstruieren. Also habe ich erstmal gegooglet was die überhaupt von mir wollen. Ich bin dann auf die Matrix gestoßen (war glaube sogar hier im Forum) mit der Bemerkung als Antwort, das sei wohl ein schöner Kreis. Also hab ich mir den Spaß gemacht und die Matrix in die Formel eingesetzt.

Jetzt komme ich aber aus dem Matheuniversum, in dem es nicht üblich ist rechts ein

x

und ein

y

stehen zu haben! Für meine Begriffe wäre das eine 3D-Funktion die so garnichts mit einem Kreis zutun hat. Bitte klärt mich über den Denkfehler hierbei auf!

Also denke ich mir das

y

ist gleichbedeutend mit

f (x)

und ich muss das irgendwie umstellen. Jetzt habe ich aber keine Ahnung wie ich eine Formel mit

y

und y² nach

y

umstellen soll. Also hat hier jemand was mit der Hauptachsentransformation gesagt.

Ich habe so gar keine Ahnung was das ist und wie das funktioniert und bevor ich mir jetzt Stunden ans Bein binde um das zu lernen wollte ich erstmal wissen ob das jetzt Zielführend ist also wende ich es an und siehe da! Am Ende kommt da wohl eine Gleichung raus (mit dem Rechner natürlich) die sich nach

y

umstellen lässt! also +x² und am ende noch wurzel ziehen. Dann hab ich das ganze mit nem Online Funktions Plotter dargestellt und sehe einen halben Kreis.

Also entweder irrt sich hier die Realität oder ich hab irgendwas an dem Prozedere grundlegend misverstanden. Ich tippe auf letzteres.

Roman-22

21:19 Uhr, 16.04.2017

>

Die Aufgabe lautet aus einer beliebigen Parabel einen Kegelschnitt zu konstruieren.
Eine Parabel IST ein Kegelschnitt.

Ist dir eigentlich bewusst, dass dieser Thread nun schon seit 8 Stunden läuft und du immer noch nicht verraten hast, welche Aufgabe genau du eigentlich lösen möchtest? Plötzlich sprichst du jetzt von einer Parabel!???

Die Form

F (x, y) = 0,

die dir hier fremd ist, nennt man implizite Darstellung einer Abbildung - eben weil diese Gleichung nicht explizit nach

y

aufgelöst ist.
Nicht jede implizit gegebene Zuordnung lässt sich eindeutig explizit auflösen. So eben auch

x^{2} + y^{2} - 1 = 0

. Spätestens bei

y^{2} = 1 - x^{2}

(du hattest da ein falsches

+)

ist dann Schluss. Diese quadratische Gleichung in

y

hat eben zwei Lösungen,

y = \pm \sqrt{1 - x^{2}},

entsprechend dem oberen und dem unteren Halbkreis.
So wie die Gleichung

u^{2} = 4

eben auch die beiden Lösungen

u_{1,2} = \pm 2

hat.

Der Kegelschnitt, denn du angegeben hast, ist eben ein Kreis und zwar mit Mittelpunkt

(- 1 / - 1)

und Radius 1. Und nach der (hier überflüssigen) Trafo wird er eben ein Kreis mit Mittelpunkt

(0 / 0)

und Radius 1.

Kokujou aktiv_icon

21:37 Uhr, 16.04.2017

Verzeihung, nicht parabel, Matrix! Tut mir leid! Da hab ich mich verschrieben.

Ich soll aus einer beliebigen 3x3-Matrix, die ich mir ausdenken soll, einen Kegelschnitt konstruieren. Und nebenbei auch untersuchen welchen Einfluss der Rang der Matrix auf die Form des Kegelschnitts hat, aber das müsste ich hinkriegen.

Mit der Wurzel hast du mich tatsächlich kalt erwischt, das hatte ich nicht bedacht.

zu diesen impliziten Darstellungen: Wie genau zeichnet man denn dann solch eine implizite Darstellung

z . B

. in MatLab oder Mathematica, oder diesen ganzen Online-Plotting-Tools, die ich gerne benutze? Ich kenne sowas noch gar nicht.

Außerdem sehe ich tatsächlich an der Form

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

nichts "kreisiges", wenn du verstehst. Aber das liegt vielleicht auch einfach daran, dass mir eben diese Form fremd ist und ich mehr Programmierer als Mathematiker bin (auch wenn viele Softwareentwicklung und Mathematik für eng verknüpft halten. Wenn ich ne Formel brauche google ich sie.)

Femat aktiv_icon

21:54 Uhr, 16.04.2017

Siehst du was kreisiges?

Hier ist interessant:

http//www.mathebibel.de/hauptachsentransformation

Kokujou aktiv_icon

21:58 Uhr, 16.04.2017

Naja wenn man sie zeichnet schon. Aber wenn ich nur auf die Formel selbst gucke, seh ich daran nicht wirklich, dass es ein Kreis ist. Aber das liegt warscheinlich daran dass ich nie von impliziten Darstellungen gehört habe. Ich nehme mal an die Form

(x + a) (y + b)

mit

a, b \in R

ist eine gängige Elipsenform?

Zusammengefasst kann man also sagen, dass mein einziges Problem das ist, dass ich keine Ahnung von impliziter Darstellung hatte und dass ich einfach nur die Matrix in die Formel einsetzen muss und das dann bereits die Fertige Formel für einen Kegelschnitt ist?

Und was genau ist dann Sinn und Zweck der Hauptachsentransformation, die mir empfohlen wurde? Damit kam ich ja am Ende auch auf einen Kreis.

Falls ich also keine weiteren groben Denkfehler habe würde ich nach der nächsten Antwort das Thema tatsächlich abschließen.

PS: Tut mir leid dass es so lange gedauert hat bis ich antworte. Ich ging davon aus, dass es eine Weile dauert bis sich hier jemand findet. In anderen Foren kann das schonmal Tage in Anspruch nehmen!

Roman-22

22:03 Uhr, 16.04.2017

>

Außerdem sehe ich tatsächlich an der Form

(x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 1

nichts "kreisiges",
Naja, solltest du aber. Abgesehen davon ist ja in dem Link, den ich gepostet hatte, erklärt, wie man aus der transformierten Gleichung die Art des Kegelschnitts abliest.

Die allgemeine Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt

M (x_{M} / y_{M})

und Radius

r

lautet eben

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

und mit diesem Wissen erkennst du deinen Kreis dann vermutlich auch sofort.

Online Funktionsplotter beherrschen meist nicht das Plotten implizit gegebener Zuordnungen. Da muss man oft schon froh sein, wenn sie das Plotten von in Parameterdarstellung gegebener Funktionen beherrschen (damit kann man dann eben auch mit nur einer Darstellung den ganzen Kreis bekommen).
In Mathematica gibts den Befehl "ImplicitPlot" (die Parameterliste schlägst du am Besten in der Doku nach) und damit solltest du deinen Kreis recht einfach plotten lassen können.
In Matlab gibst dafür den Befehl "fimplicit". Nicht mehr empfohlen wird die Verwendung des veralteten "ezplot".

Welche Onlineplotter implizite Funktionen schaffen, das weiß ich nicht, aber Onkel Wolfram kann das auf jeden Fall (siehe Anhang).
Und auch das kostenlose Geogebra schafft zumindest Kegelschnitte in impliziter Darstellung, bei komplizierteren Gleichungen muss es dann passen (implicit plot ist aber auch keineswegs eine triviale Sache).
Kreis_geogebra

Femat aktiv_icon

22:06 Uhr, 16.04.2017

Ich zeig dir was aus meinem Mathefundus, was mein grösstes Erfolgserlebnis zum Thema darstellt.
Die Zeichnug in Geogebra, die Algebra mit TI-Nspire CAS erstellt.
Die Koeffizienten der Gleichung wirst mindestens in der obersten Matrix erkennen.
Dann vermute ich aber, dass Eigenwerte und Eigenvektoren dir eher chinesisch vorkommen werden.

Roman-22

22:15 Uhr, 16.04.2017

Ja, mit Geogebra ist schon einiges möglich.
Wenn du in die Suchmaschine deines Vertrauens die Begriffe "Geogebra" und "Hauptachsentransformation" reinwirfst, sollte das eine oder andere nette Geogebra-File zutage treten.

Kokujou aktiv_icon

00:01 Uhr, 17.04.2017

Ich möchte mich für all die freundlichen Antworten bedanken und glaube, dass ich jetzt meine Hausaufgabe erfolgreich abschließen kann!

Eigenvektoren und Eigenmatrizen sagen mir tatsächlich etwas. Aber lineare Algebra ist schon eine Weile her, ich müsste es erkennen wenn ich es nochmal nachschlage.

Ich benutze Mathematica und nach einer kleinen recherche: ImplicitPlot ist wohl veraltet jetzt gibt es da einen anderen Befehl, der offensichtlich das gleiche macht.

Wenn ich ansonsten mit allen Erkenntnissen richtig liege, schließe ich hiermit die Frage und bedanke mich bei allen, die so freundlich waren mir zu helfen! Ich bin sehr positiv überrascht von der Schnelligkeit der Antworten und der Profession der Mitglieder hier! :-)

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