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Komplexe Funktion in Potenzreihe entwickeln

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Komplexe Funktion, potenzreihen, Reihenentwicklung

muri10 aktiv_icon

14:49 Uhr, 19.12.2020

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Es sei die Funktion

f : ℂ \ {i, - i} \to ℂ

mit

f (z) = \frac{1}{1 + z^{2}}

gegeben.

(a)

Entwickeln Sie

f

z_{0} = 0

in eine Potenzreihe.

Wir definieren den komplexen Arkustanges arcant

: ℂ \ {\pm i s | s \geq 1} \to ℂ

durch das Kurvenintegral arctan(z)=

\int_{0}^{z} \frac{1}{1 + ζ^{2}} d ζ

für eine beliebige Kurve innerhalb dieser Menge von 0 nach

z

(b)

Bestimmen Sie die Potenzreihe von arctan zum Entwicklungspunkt

z_{0} = 0

und ihren Konvergenzradius.

Bei der

(a)

jetzt ich jetzt spontan den Ansatz

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k} = f (z)

genommen.

Bei der

(b)

habe ich keine Ahnung. Das Integral verwirrt mich.

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 19.12.2020

Hallo,
du kannst

\frac{1}{1 + z^{2}}

als Grenzwert

\frac{1}{1 - q}

einer
geometrischen Reihe ansehen, also

q = - z^{2}

.
Greuß ermanus

muri10 aktiv_icon

15:16 Uhr, 19.12.2020

Das ist doch nur der Wert, den man da hat, oder nicht? Wie sieht die Potenzreihe aus?

ermanus aktiv_icon

15:19 Uhr, 19.12.2020

Wie sieht denn die geometrische Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}

aus, wenn man

q

durch

(- z^{2})

ersetzt?

muri10 aktiv_icon

16:19 Uhr, 19.12.2020

Verstehe, danke sehr. Wie schreibe ich das dann korrekt auf?

Geometrische Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}

mit

q = - z^{2} \Rightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} - z^{2 n} = \frac{1}{1 - (- z^{2})}

und das ist bereits die Lösung? Kommt mir zu einfach vor, dafür dass

(a)

und

(b)

zusammen 6 Punkte geben.

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17:10 Uhr, 19.12.2020

Du brauchst nur zu sagen, dass man mithilfe der geometrischen Reihe

\frac{1}{1 + z^{2}} = \frac{1}{1 - (- z^{2})} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} z^{2 n}

erhält. Diese Reihe hat den Konvergenzradius ....

Und Vorsicht mit dem Minus-Zeichen. Das hast du nämlich falsch gemacht.

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17:16 Uhr, 19.12.2020

Alles klar, vielen Dank.

Bei der

(b)

muss ich als ersten Schritt das Integral berechnen, nehme ich an?

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17:25 Uhr, 19.12.2020

Bei (b) solltest du mal schauen, ob du nicht einen Satz über das
gliedweise Integrieren einer Potenzreihe irgendwo in deinen Unterlagen findest.
Dann könntest du ja

\int_{0}^{z} (\sum a_{n} ζ^{n}) d ζ = \sum \int_{0}^{z} (a_{n} ζ^{n}) d ζ

verwenden.

muri10 aktiv_icon

09:57 Uhr, 20.12.2020

Habe mir den Satz über gliedweise Integration angesehen aber weiß nicht viel damit anzufangen.

Also wir haben ja
f(z)=arctan(z)=

\int_{0}^{z} \frac{1}{1 + ζ^{2}} d ζ

Wenn wir die Funktion als Potenzreihe darstellen wollen, brauchen wir den Ansatz

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} ζ^{n} = \int_{0}^{z} \frac{1}{1 + ζ^{2}} d ζ =

arctan(z)

Was genau hier ist der nächste Schritt?

ermanus aktiv_icon

10:14 Uhr, 20.12.2020

Wir haben die Potenzreihenentwicklung

\frac{1}{1 + z^{2}} = 1 - z^{2} + z^{4} - z^{6} + z^{8} \pm . . .

,
also nach dem Satz über die gliedweise Integration einer Potenzreihe

\int \frac{1}{1 + z^{2}} d z = \int 1 d z - \int z^{2} d z + \int z^{4} d z - \int z^{6} d z + \int z^{8} d z \pm . . .

Gruß ermanus

muri10 aktiv_icon

10:49 Uhr, 20.12.2020

Verstehe, also:

\int_{0}^{z} \frac{1}{1 + ζ^{2}} d ζ = \int_{0}^{z} 1 d ζ - \int_{0}^{z} ζ^{2} d ζ + \int_{0}^{z} ζ^{4} d ζ - \int_{0}^{z} ζ^{6} d ζ . .

= z - \frac{1}{3} z^{3} + \frac{1}{5} z^{5} - \frac{1}{7} z^{7} . .

.

Und somit wäre die Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (\frac{z^{2 n + 1}}{2 n + 1})

korrekt?

ermanus aktiv_icon

10:55 Uhr, 20.12.2020

Ja! Genau so :-)

muri10 aktiv_icon

11:20 Uhr, 20.12.2020

Somit wäre

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = lim \frac{2 n + 2}{(2 n + 1) z} = \frac{1}{z}

Scheint mir irgendwie immernoch wenig Aufwand für die 6 Punkte. Aber vielen Dank für die Hilfe!

ermanus aktiv_icon

11:23 Uhr, 20.12.2020

Was sucht das

z

in deinem Quotienten?
Die Bestimmung deines Konvergenzradius musst du dir nochmal
genauer anschauen.

muri10 aktiv_icon

11:45 Uhr, 20.12.2020

Wenn die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot (\frac{z^{2 n + 1}}{2 n + 1})

ist,

dann ist doch

r = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 1)}^{n} \cdot z^{2 n + 1}}{2 n + 1} \cdot \frac{2 n + 2}{{(- 1)}^{n + 1} \cdot z^{2 n + 2}} |

und hier bleibt doch das

z

übrig oder wo ist mein Fehler?

ermanus aktiv_icon

12:02 Uhr, 20.12.2020

Wenn man es ganz streng nimmt, bekommt man für die Koeffizienten
der Reihe als Potenzreihe in

z

a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{2} = 0, a_{3} = 1 / 3, a_{4} = 0, . . . .

Mit der Quotientenmethode kommt man also so nicht so einfach auf
Brauchbares, daher wäre hier eher die Bestimmung des Konvergenzradius
nach Hadamard zu verwenden. Das ist aber alles zu aufwendig.
Daher mein Vorschlag:
Im Satz über die gliedweise Differentiation und gliedweise
Integration sollte stehen, dass sich die Konvergenzradien bei diesen Operationen
nicht ändern. Die Potenzreihe

P (z)

von

\frac{1}{1 + z^{2}}

ist eine geometrische Reihe
in

q = - z^{2}

. Eine geometrische Reihe konvergiert für

∣ q ∣ < 1

und divergiert
für

∣ q ∣ > 1

, also konvergiert die Reihe

P (z)

für

{∣ z ∣}^{2} < 1

,
nicht aber für alle

{∣ z ∣}^{2} > 1

.
Das bedeutet: sie konvergiert für

∣ z ∣ < 1

aber nicht für alle

∣ z ∣ > 1

.
Daher ist ihr Konvergenzradius

r = 1

, folglich ist auch der Konvergenzradius
der

\arctan

-Reihe

= 1

muri10 aktiv_icon

12:22 Uhr, 20.12.2020

Alles klar, danke nochmal.

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