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Komplexe Linearfaktorzerlegung, reelle Zerlegung

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Komplexe Zahlen

Tags: Funktion, Komplexe Zahlen

simonshevchyc aktiv_icon

12:07 Uhr, 28.11.2020

Sei

f (x) = x^{5}

–

2 x^{4} - x + 2

mit Nullstellen

x 1 = i, x 2 = - i, x 3 = - 1, x 4 = 1, x 5 = 2

.

Ist dann die komplexe Linearfaktorzerlegung

(x + i) (x - i) (x + 1) (x - 1) (x - 2)

?
Ist die reelle Zerlegung

(x 2 + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 2)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

12:14 Uhr, 28.11.2020

Worin bist du dir unsicher ?

(x + i) \cdot (x - i) = x^{2} + 1

simonshevchyc aktiv_icon

12:27 Uhr, 28.11.2020

Ich weiß nicht ob ich die Begriffe "komplexe Linearfaktorzerlegung" und "reelle Zerlegung" richtig verstehe. Wir haben ein anderes Polynom in der Aufgabe gegeben, das habe ich mir selber gebastelt, damit ich mich sicher stelle, dass ich alles richtig verstanden habe.

Das Polynom, das wir bekommen haben, ist

p (z) = z^{4} - 1

. Ich habe die Polstellen/Nullstellen ausgerechnet und die sind

z 1 = i, z 2 = - i, z 3 = 1

und

z 4 = - 1

. Gefragt ist es nach der komplexen Linearfaktorzerlegung und nach der reellen Zerlegung. Ist

(z - i) (z + i) (z - 1) (z + 1)

die komplexe Linearfaktorzerlegung und

(z^{2} + 1) (z + 1) (z - 1)

die reelle Zerlegung.

Mein Problem ist es, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich die Begriffe richtig verstanden habe

simonshevchyc aktiv_icon

12:30 Uhr, 28.11.2020

Die Aufgabe scheint mir einfach viel zu einfach zu sein, im Vergleich mit anderen Aufgaben, die wir bekommen haben. Daher die Verwirrung

Respon

12:35 Uhr, 28.11.2020

Ist dir aufgefallen, dass von einer komplexen LINEARfaktorenzerlegen aber von einer reellen ZERLEGUNG gesprochen wird.
Zerlegung ist ein Oberbegriff und daher nicht immer eindeutig.
Man könnte ja auch noch

(x + 1) \cdot (x - 1)

zusammenfassen zu

x^{2} - 1

.

Das tatsächliche Problem scheint mir eher das Auffinden der Nullstellen zu sein.

(z . B

x^{4} - 2 \cdot x^{3} + 23 \cdot x^{2} - 94 \cdot x + 130)

Welches deiner vorangegangenen Beispiele sind dir denn "sehr" schwer erschienen ?

simonshevchyc aktiv_icon

12:47 Uhr, 28.11.2020

Ich weiß nicht, ob wir uns richtig verstehen. Mir geht es tatsächlich wirklich darum, ob ich die Begriffe verstanden habe

p (z) = z^{4} - 1

hat Nullstellen

z 1 = i, z 2 = - i, z 3 = 1, z 4 = - 1

Bei

c)

ist nach der komplexen Linearfaktorzerlegung gefragt.
Ist sie denn

(z - i) (z + i) (z - 1) (z + 1)

?

Bei

d)

muss man die reelle Zerlegung berechnen.
Geht es nur um

(z^{2} + 1) (z - 1) (z + 1)

Respon

12:52 Uhr, 28.11.2020

Das ist korrekt.

Ein Polynom 4. Grades hat höchsten 4 Nullstellen ( komplexe bzw. reelle ).
Da die Koeffizienten des Polynoms reell sind, muss zu jeder komplexen Nullstelle auch die dazu konjugiert komplexe Zahl Nullstelle sein.
Diese beiden komplexen Linearfaktor lassen sich zu einem Term mit reellen Koeffizienten zusammenfassen.
Du hast das schon richtig verstanden.

Aber wenn du willst, können wir ja noch ein Beispiel durchackern.

simonshevchyc aktiv_icon

12:57 Uhr, 28.11.2020

Danke vielmals! Die Aufgabe schien mir zu einfach zu sein, weil ich für die anderen Aufgaben locker so ungefähr jeweils eine Stunde gebraucht habe. Ich wusste nicht, ob die so leicht ist, oder ich etwas falsch mache.

Respon

12:58 Uhr, 28.11.2020

Nochmals die Frage : Wie hat denn ein "schweres" Beispiel ausgesehen ?

simonshevchyc aktiv_icon

13:08 Uhr, 28.11.2020

Für die komplexe LINEARfaktorzerlegung/reelle Zerlegung war das die einzige Aufgabe. Die "schwierigen" Aufgaben waren zum Beispiel

3 a, 4 a, 4 b

aber mit den hatte ich keine größeren Probleme.

Respon

13:12 Uhr, 28.11.2020

Oder anders gefragt...
Wie hast du bei

f (x) = x^{5} - 2 \cdot x^{4} - x + 2

die Nullstellen ermittelt ?

EDIT : Sehe erst jetzt die Aufgaben 3 und 4.
Ja, das läuft nach "Schema" ab.
( gute Zusammenfassung : mathepedia.de/Beispiele_Partialbruchzerlegung.html "

Dann scheint ja alles geklärt zu sein !

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