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Komplexe Wurzel und komplexer log

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Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

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15:09 Uhr, 02.03.2021

Hallo zusammen,

ich verstehe die komplexen Wurzeln und auch den komplexen logarithmus nicht so richtig.

Dazu hätte ich folgende Frage:

Gibt es einen Zweig der Wurzel mit

\sqrt{- 1} = - i,

wobei auch

\sqrt{1}

definiert ist. Ich müsste jetzt mit einer geschlitzen Ebene argumentieren und diese so wählen, sodass

\sqrt{- 1} = - i

ist. Wie mache ich das denn ? Also erstmal kann ich als geschlitzte Ebene nicht die positive oder negative reelle Axe nehmen, aber viel mehr kann ich dazu nicht sagen und wenn ich es richtig verstehe ist der Zweig der Wurzel immer nur auf einer Halbebene ohne die Ränder definiert, deshalb wird die Frage wohl mit nein zu beantworten sein ?

Und noch eine zweite Frage: Ist diese Aussage wahr oder Falsch und wie begründe ich diese ?

Auf dem Gebiet

ℂ (- \infty,

]

gibt es einen Zweig log des Logarithmus mit

log (i) = 0

.

Vielleicht kann jemand von euch mir helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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16:38 Uhr, 02.03.2021

"Gibt es einen Zweig der Wurzel mit −1=−i, wobei auch 1 definiert ist."

Ja,

f (z) = \exp (0.5 \ln_{1} (z))

, wobei

\ln_{1}

der Zweig

\ln_{1} (z) = \ln (∣ z ∣) + i \arg (z) + 2 π i

ist, für den Schlitz kann man z.B. die negative imaginäre Halbachse nehmen. Oder auch die positive Halbachse. Eigentlich jeden mögliche Strahl von 0 ausgehen, außer reellen Halbachsen.

"Auf dem Gebiet ℂ (−∞, 0]gibt es einen Zweig log des Logarithmus mit log(i)=0."

Wenn

\log (i) = 0

gelten würden, hätten wir

i = \exp (\log (i)) = \exp (0) = 1

. Das geht nicht.

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18:57 Uhr, 02.03.2021

Dankeschön erstmal für deine Antwort, mir sind immer noch ein paar Sachen unklar die ich dich noch gerne fragen würde. Wenn ich bei meiner ersten Frage eine Forderung dazu nehmen würde,nähmlich,

dass

\sqrt{1} = i,

dann wäre es nicht mehr möglich oder habe ich wieder einen Denkfehler ? Die Wurzel bildet immer auf eine offene Halbebene ab und damit wäre es nicht möglich.

Also Definiert ist die Wurzel auf allem ohne den Schlitz, aber abgebildet wird auf eine Halbebene.

Zweite ist klar.

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19:07 Uhr, 02.03.2021

Deswegen müsste die folgende Frage auch mit nein beantwortet werden wenn ich richtig liege:

G = : ℂ \ {i \cdot y : y \geq 0}

ist ein Zweig des logarithmus mit

1^{\frac{1}{2}} = - 1

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19:16 Uhr, 02.03.2021

"dass 1=i, dann wäre es nicht mehr möglich oder habe ich wieder einen Denkfehler ? Die Wurzel bildet immer auf eine offene Halbebene ab und damit wäre es nicht möglich."

\sqrt{1} = i

ist nicht möglich, denn

i^{2} = - 1 \neq 1

.
In meinem Beispiel hast du

\sqrt{- 1} = - i

, wie man leicht nachrechnen kann.

"Also Definiert ist die Wurzel auf allem ohne den Schlitz, aber abgebildet wird auf eine Halbebene."

Ja, aber Halbebene kann auch "schief" sein.

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19:19 Uhr, 02.03.2021

"Deswegen müsste die folgende Frage auch mit nein beantwortet werden wenn ich richtig liege:"

Was ist denn die Frage?

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19:21 Uhr, 02.03.2021

Mit "schief" meinst jetzt nicht unbedingt nur die Halbebene

z . B

des ersten und zweiten Quadranten, sondern auch wie bei meiner letzten Frage, dass die Hälfte des 1. Quadranten der 4 Quadrant und die hälfte des 3 Quadranten eine Halbebene bilden.

Etwas verwirrend (von mir) geschrieben, aber gut ;-) .

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19:25 Uhr, 02.03.2021

Also habe etwas falsch übersetzt die Frage aus dem englischen :-) . sorry. Also hier folgt jetzt die Frage richtig ( oder kann man die nicht sehen?

) :

Auf

G = ℂ \ {y \cdot i : y \geq 0}

gibt es einen Zweig des logarithmus sodass

1^{\frac{1}{2}} = - 1

Also wenn man einen Zweig des Logarithmus hier drauf definiert, dann gibt es eine schiefe Halbebene wie in meinem vorherigen Beitrag beschrieben und damit kann diese Aussage nicht stimmen, glaube ich.

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19:40 Uhr, 02.03.2021

Du meinst vermutlich den Zweig der Wurzel.
Nun, "mein" Zweig

f (z) = \exp (0.5 \ln_{1} (z))

passt, denn

f (1) = \exp (0.5 \cdot (\ln (1) + i a r g (1) + 2 π i)) = \exp (0.5 \cdot 2 π i) = \exp (π i) = - 1

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19:44 Uhr, 02.03.2021

Jetzt stelle ich die Frage doch im Original ein, sonst mache ich noch irgendetwas falsch:

On

G := ℂ \ {i \cdot y : y \geq 0}

there is a branch of the logarithm, such that

1^{\frac{1}{2}} =

−1.

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19:49 Uhr, 02.03.2021

So ergibt die Frage für mich wenig Sinn, aber vermutlich ist dort das gemeint, was ich oben geschrieben habe, in welchem Fall die Antwort ja sein wird.

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20:13 Uhr, 02.03.2021

Also ich weiß nicht ob man die Wurzeln noch anders definieren kann im komplexen, aber bei uns wurden beide Sachen im engen zusammenhang eingeführt. Als Beispiel:

We consider in some detail the case of the square root,

i . e

b = \frac{1}{2}

b

ist aus

a^{b} = e^{b \cdot log (a)}

G = ℂ \ [- \infty,0]

we use the principal branch of the logarithm, that is

log (z) = ln (| z |) + i \cdot a (z)

with

a (z) \in (- π, π)

then we find

(a =

arg(z))

z^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} \cdot log (z)} = e^{\frac{1}{2} \cdot (ln (| z |) + i \cdot a (z))} = e^{\frac{1}{2} \cdot ln (| z |)} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot i \cdot a (z)} = e^{ln (\sqrt{| z |})} \cdot e^{i \cdot \frac{a (z)}{2}} = \sqrt{| z |} \cdot e^{i \cdot \frac{a (z)}{2}}

This results in a value for the square root with

a (z^{\frac{1}{2}}) \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}),

so it lies in the right halfplane, which means that
Re

(z^{\frac{1}{2}}) > 0

for all

z \in ℂ \ [- \infty,0]

Aber habe ich nur geschrieben falls es dich interessiert, obwohl ich immer noch nicht alles verstehe hat es mir sehr weitergeholfen.

Vielen Dank

!!!

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