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Komposition von Funktion, Umkehrfunktion

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Komposition, Umkehrfunktion

anonymous

19:38 Uhr, 30.11.2013

Hallo zusammen,

hier oben nochmals die Zusammenfassung der Aufgabe (Anhang) zur besseren Übersicht.

Grüße robbie2210

f (x) = 2 e^{- x^{2} - x - 0, 5}

f (x) = 2 e^{- (x^{2} + x + 0, 5)}

f (x) = 2 e^{- (x + 0, 5)^{2}}

ℝ

ℝ

Zielmenge (ZM):

ℝ

,da

f : ℝ \to ℝ

f

bildet vom DB

ℝ

in die ZM

ℝ

ab.

Wertemenge (WM):

f (x) > 0

für alle

x \in ℝ .

n i c h t

injektiv,surjektiv sowie bijektiv

U m k e h r f u n k t i o n :

f (x) = 2 e^{- (x + 0, 5)^{2}}

y = 2 e^{- (x + 0, 5)^{2}}

l n (y) = l n (2 * e^{- (x + 0, 5)^{2}}) = l n (2) + l n (e^{- (x + 0, 5)^{2}})) = l n (2) - (x + 0, 5)^{2}

l n (y) = l n (2) - (x + 0, 5)^{2}

(x + 0, 5)^{2} = l n (2) - l n (y)

\sqrt{}

(x + 0, 5) = \sqrt{l n (2) - l n (y)}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

19:50 Uhr, 30.11.2013

Hallo,

Deine ersten beiden Umformungen sind falsch!

anonymous

19:55 Uhr, 30.11.2013

1. Anmerkung:

Woher kommt gleich im ersten Schritt bei

f (x) = 2 e^{- (x^{2} - x - 0,25)}

die Klammer?

f (x) = 2 e^{- x^{2} - x - 0,25} \neq 2 e^{- x^{2} + x + 0,25} = 2 e^{- (x^{2} - x - 0,25)}

2. Anmerkung:

Im nächsten Schritt:

x^{2} - x - 0,25 \neq x^{2} - x + 0,25 = {(x - 0,5)}^{2}

3. Anmerkung:

Im nächsten Schritt:
Wie kommst du auf die Umformung?

- {(x - 0,5)}^{2}

ist kleiner als 0 für alle

x \in ℝ \ {0,5}

{(x + 0,5)}^{2}

ist größer als 0 für alle

x \in ℝ \ {- 0,5}

4. Anmerkung:

Im nächsten Schritt:
Wie kommst du von

y = 2 e^{{(x + 0,5)}^{2}}

auf

(x + 0,5) = 2 ln (y)

. Das passt auch nicht.

5. Anmerkung:

Der Schritt danach passt auch nicht.

Gesamt:

Du hast also leider wirklich in jedem Schritt einen Fehler gemacht.

Fazit:

Du solltest nochmal von vorne beginnen.
Mache dir bei jedem Umformungsschritt klar, ob du dass passt, was du machst.
Am besten überlegst du dir immer genau, welche mathematischen Regeln/Gesetze/Sätze du im jeweiligen Schritt anwendest.

anonymous

20:23 Uhr, 30.11.2013

Korrigiert (s.o.)

anonymous

20:27 Uhr, 30.11.2013

"ich dachte, dass das - vor dem

x 2

weg muss, wie bei der pq-Formel. Also, als Arbeitsschritt den gesamten Term minus rechnen (Vorzeichenwechsel). Dann erhält man eine quadr. Funktion und kann die Binomische Formel anwenden."

Dann muss man das aber auch richtig machen.

So wie du das jetzt gemacht hast ist beispielsweise das - einfach verschwuden. Du kannst doch beispielsweise auch nicht einfach sagen, dass

- 2 = 2

.

Richtig ist:

f (x) = 2 e^{- x^{2} - x - 0,5} = 2 e^{- (x^{2} + x + 0,5)} = 2 e^{- {(x + 0,5)}^{2}}

Edit: Hatte mich verschrieben. Es muss naürlich

2 e^{- {(x + 0,5)}^{2}}

statt

2 e^{- {(x^{2} + 0,5)}^{2}}

lauten.

Wie sieht es nun mit einer Skizze aus?
Hast du dafür Ideen?

anonymous

20:37 Uhr, 30.11.2013

Skizze (s.o)

anonymous

21:05 Uhr, 30.11.2013

"Ich habe versucht die letzte Funktion bei GeoGebra einzugeben, aber er zeigt mir immer ungültige Eingabe an. Ich muss mir erst einmal eine Wertetabelle erstellen."

Du hast wohl "2*e^(-x^2-x-0,25)" eingegeben. Allerdings verwendet ein Großteil entsprechender Programme/Software einen Punkt statt ein Komma als Dezimaltrennzeichen, wie es vor allem auch im englischsprachigen Bereich üblich ist. Das Komma trennt dann verschiedene Argumente einer Eingabe. So wird "0,25" nicht als

\frac{1}{4},

sondern als 0 und

25

getrentt betrachtet.

Ich habe mal eine passende Skizze angehängt.
Die, welche WolframAlpha dir ausgegeben hat, passt aus dem angegebenen Grund auch nicht. Statt dem passenden Graphen, hat er dir zwei getrennte Graphen (rot und blau) ausgegeben, die dann nicht ganz zu

f

passen.

Man muss die Funktion nur skizzieren. Der Graph muss ja evtl. nicht exakt stimmen.
(Wie ist man früher nur ohne PC zurecht gekommen?)

Was man auch schon ohne Wertetabelle erkennen kann:

- {(x + 0,5)}^{2}

ist der Funktionsterm einer nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt/Maximum

(- 0,5 | 0)

und ist daher streng monoton steigend für

x \in] - \infty; - 0,5 [

und streng monoton fallend für

x \in] - 0,5; \infty [

und (achsen-)symetrisch bzgl.

x = - 0,5

. Außerdem ergibts sich für

| x | \to \infty

aufgrund der Öffnung nach unten

- \infty

.

Da die (natürliche) Exponentialfunktion und daher auch ihr doppelter Wert streng monoton steigend ist und ihr Funktionwert für kleine Werte gegen 0 strebt, gilt daher für

f :

Maximum bei

(- 0,5 | 2 \cdot e^{0}) = (- 0,5 | 2)

streng monoton steigend für

x \in] - \infty; - 0,5 [

streng monoton fallend für

x \in] - 0,5; \infty [

(achsen-)symetrisch bzgl.

x = - 0,5

für

| x | \to \infty

konvergiert der Funktionwert gegen 0

Aus der Stochastik, könnte man, wenn es dir bekannt sein sollte, den Verflauf von

ℝ \to ℝ, x \mapsto e^{- x^{2}}

kennen. (Stichwort: Gaußsche Glockenkurve)
Der Graph von

f (x)

entsteht dann einfach durch entsprechende Verschiebung und Streckung.

Nächster Punkt wären:
Definitionsbereich
Zielmenge
Wertemenge

Hast du dazu Ideen?

Edit: Schreibfehler ausgebessert
natürlich

] - \infty; - 0,5 [

und

] - 0,5; \infty [

statt

] - \infty; 0,5 [

und

] 0,5; \infty [

anonymous

21:14 Uhr, 30.11.2013

DB (s.o.)

anonymous

21:20 Uhr, 30.11.2013

x \in ℝ

ist eine Aussage.
Der Definitionsbereich ist allerdings eine Menge.
Der Definitionsbereich ist also

ℝ

statt

x \in ℝ

.
Das ist nur eine kleine Formalität, die ich aber kurz nennen wollte.

Also:
Definitionsbereich ist

ℝ

.

Wie sieht es mit Zielmenge und Wertemenge aus?
Keine Ideen?

Wo findet man denn normalerweise die Zielmenge einer Funktion?

Wie könnte man auf die Wertemenge kommen?
Stichworte für die Wertemenge vielleicht kommen dir dann ja Ideen:
Maximum, Stetigkeit, Zwischenwertsatz,

...

anonymous

21:25 Uhr, 30.11.2013

Def. durchsucht

anonymous

21:40 Uhr, 30.11.2013

anonymous

22:15 Uhr, 30.11.2013

Umkehrfunktion (s.u.)

anonymous

22:16 Uhr, 30.11.2013

(Edit: Sorry, bei mir wird das alles immer ein wenig länger.)

Ohne Zwischenwertsatz wird die Argumentation erheblich erschwert. Sicher, dass ihr Statigkeit und insbesondere den Zwischenwertsatz noch nicht hattet? Das kann ich wirklich kaum glauben. Aber so unwahrscheinlich es auch sein mag: Ganz auszuschließen kann ich natürlich nicht, dass dazu wirklich noch nichts gemacht habt, wie du behauptest.

Nun gut:

Zur Zielmenge (und Definitionsbereich):
Die Zielmenge ist offensichtlich

ℝ,

da angegeben ist, dass

f

eine Funktion

ℝ \to ℝ

sein soll. Daran kann man erkennen, dass

f

vom Definitionsbereich

ℝ

in die Zielmenge

ℝ

abbilden soll.

Zur Wertemenge:
Das ist ja die Menge, aller Funktionswerte, also die Menge welche aus allen

f (x)

mit

x

aus dem Definitionsbereich besteht. Man muss sich also überlegen, welche Funktionswerte angenommen werden. Und das ist so ein Aufgabentyp bei dem nicht selten der Zwischenwertsatz angewendet wird bzw. werden kann.

Wie ich bereits geschrieben habe, nimmt der Term

- x^{2} - x - 0,25 = - {(x + 0,25)}^{2}

offensichtlich sein absolutes Maximum von 0 bei

x = 0,25

an, da für alle anderen reellen Zahlen

x

der Term offensichtlich negativ wird.

Da die Exponentialfunktion (und daher auch ihr Doppeltes) (streng) monoton steigend ist, hat

f (x)

bei

x = - 0,5

ein absolutes Maximum mit dem Wert

2 \cdot e^{0} = 2 \cdot 1 = 2

.
(Das Maximum kann auch mit Hilfe von Differentialrechnung ermittelt werden.)

f (x)

ist außerdem offensichtlich positiv, da die Exponentialfunktion (im reellen Zahlenbereich) nur positive Werte annehmen kann. Also gilt

f (x) > 0

für alle

x \in ℝ

.

Wie nahe kann nun

f (x)

dem Wert 0 kommen? Beliebig nahe, denn

lim_{| x | \to \infty} f (x) = 2 \cdot lim_{| x | \to \infty} (e^{- {(x + 0,5)}^{2}}) = 2 \cdot 0 = 0,

da offensichtlich

lim_{| x | \to \infty} (- {(x + 0,5)}^{2}) = - \infty

und

lim_{t \to - \infty} e^{t} = 0

.

Nun weiß man also, dass die Wertemenge eine Teilmenge von

] 0; 2]

sein muss. Um nun ordentlich zu begründen, dass auch jeder Wert aus

] 0; 2]

tatsächlich angenommen wird, also

] 0; 2]

tatsächlich die Wertemenge ist, hätte ich nun den Zwischenwertsatz verwendet, welcher anwendbar ist, da

f

offensichtlich als Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Aber evtl. wird auch gar nicht erwartet das ihr das so genau zeigen müsst. Ich denke es reicht, wenn ihr einfach (ohne das hundertprozentig exakt zu beweisen) erkennt, dass 2 das absolute Maximum ist, die Funktionswerte positiv sein müssen, und man beliebig nahe an die 0 herankommen kann. Und dass ihr dann erkennt, das

] 0; 2]

wohl die Wertemenge ist.

Soweit irgendwelche Fragen?

Edit2: Bevor du mit dem berechnen einer Umkehrfunktion anfängst solltest du noch Injektivität und Surjektivität prüfen, und angeben, in welchen Bereichen sich die Funktion überhaupt umkehren lässt.
Es hat schon einen Sinn, warum die Aufgabe in dieser Reihenfolge gestellt wurde.

Edit3: Wenn du das dann erldeigt hast ist zu bechten, das aus

2 e

nicht einfach 2ln wird.
Man kann auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden

...

ln (y) = ln (2 \cdot e^{- {(x + 0,5)}^{2}})

Dann kann man nacheinander die folgenden Rechenreglen für den Logarithmus anwenden:

ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)

ln (e^{t}) = t

Edit4: Ich gehe jetzt wohl erstmal ins Bett. Gute Nacht

anonymous

22:29 Uhr, 30.11.2013

nicht injektiv

anonymous

22:32 Uhr, 30.11.2013

Okay, vielen Dank für deine Unterstützung und vor allem für deine Bemühung! Ich wünsche dir eine gute Nacht. Bis morgen :-)

anonymous

22:39 Uhr, 30.11.2013

Den Beitrag habe ich jetzt noch gesehen und bearbeite ihn noch schnell:

Du hast eine passende Definition von Injektivität wiedergegeben.
Ist nun das

f

aus dieser Aufgabe injektiv oder nicht?
Tipp: Das kann man hier

z . B

. recht leicht direkt am Graphen erkennen.

Jetzt aber: Gute Nacht

anonymous

23:13 Uhr, 30.11.2013

nicht Injektiv sowie Surjektiv (nicht Bijektiv)

anonymous

23:39 Uhr, 30.11.2013

Bist du dir sicher, dass deine Begründung ausreicht?

Was ist mit

x_{1} = - 1

und

x_{2} = 0

.

Am Graphen sieht man doch offensichtlich, dass jeder Funktionswert (außer 2 bei

x = - 0,5)

genau zweimal angenommen wird, da eine (Achsen-)Symmetrie bzgl.

x = - 0,5

vorliegt.

anonymous

23:45 Uhr, 30.11.2013

nicht surjektiv

Atlantik aktiv_icon

06:27 Uhr, 01.12.2013

@robbie2210

" Aber, als ich vorhin den Graphen angeschaut habe , sah der nicht symmetrisch aus... Jetzt beim 2. und 3. Mal kann man bei

x = - 0,5

eine Symmetrie erkennen. "

f (x) = 2 \cdot e^{- {(x + 0,5)}^{2}}

Ich habe festgestellt, dass dieser Sachverhalt daran liegt: Wenn du die Nullstelle des Terms (x+0,5)mit

x = - 0,5

feststellst, so liegt bei

x = - 0,5

die Symmetrieachse.

Zur Kontrolle meiner Vermutung bildete ich

g (x) = 2 \cdot e^{- {(x - 3)}^{2}}

(x - 3) = 0

x = 3

Symmetrieachse ?

Die beiden Graphen geben die Antwort, dass meine Vermutung richtig ist.

Stimmt das auch bei

h (x) = 2 \cdot e^{- {(x - 3)}^{3}}

und

i (x) = 2 \cdot e^{- {(x - 3)}^{4}}

?

Gibt es da womöglich eine Regel?

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Atlantik aktiv_icon

06:27 Uhr, 01.12.2013

Doppelpost

anonymous

12:18 Uhr, 01.12.2013

"Die Funktion ist surjektiv. Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder mögliche y-Wert in der Zielmenge angenommen wird."

Die Funktion ist NICHT surjektiv, da offensichtlich NICHT jeder Wert der Zielmenge angenommen wird.

Werte größer als 2 sowie nicht-positive Werte können nicht angenommen werden (und liegen ja deshalb auch nicht in der Wertemenge). Diese sind allerdings doch ganz klar reelle Zahlen und liegen daher in der Zielmenge

ℝ

.

"Aber, als ich vorhin den Graphen angeschaut habe , sah der nicht symmetrisch aus... Jetzt beim 2. und 3. Mal kann man bei

- 0,5

eine Symmetrie erkennen. Wenn es eine Parabel wäre, dann wäre es einfacher gewesen."

Im Prinzip geht die Symmetrie der Funktion auch auf die Symmetrie der Parabel mit dem Term

- {(x + 0,5)}^{2}

zurück. Denn:
Seien

p : A \to B

und

q : B \to C

Funktionen und

p

(achsen-)symmetrisch zu

x = a (d . h . p (x - a) = p (- x - a))

. Dann ist auch die Verkettung/Komposition

q \circ p

(achsen-)symmetrisch zu

x = a

.
De Achensymmetrie kann sich also in gewisserweise fortpflanzen.
Was ja auch logisch ist denn da die Funktionswerte von

p

an den entsprechenden Stellen gleich sind, wird bei

q \circ p

auch an den entsprechenden Stellen der Gleiche Wert an

q

weitergegeben.

Aber das eher nebenbei. Im Grunde musst du hier nicht wirklich die Symmetrie erkennen. ber du solltest schon erkennen, dass es Funktionswerte gibt (nämlich fast alle) die mehr als einmal angenommen werden, so dass die Funktion nicht injektiv sein kann.

Und zu dir Atlantik: Was du schreibst ist nicht wirklich richtig.

"Ich habe festgestellt, dass dieser Sachverhalt daran liegt: Wenn du die Nullstelle des Terms (x+0,5)mit

x = - 0,5

feststellst, so liegt bei

x = - 0,5

die Symmetrieachse."

Das gilt nicht wirklich (allgemein) und ist in diesem Fall eher Zufall.

"Die beiden Graphen geben die Antwort, dass meine Vermutung richtig ist."

Ersetze "richtig ist" durch "richtig sein könnte". Nur weil das bei zwei ähnlichen Beispielen so ist, ist das noch lange kein Beweis für deine Vermutung. Und

"Stimmt das auch bei

h (x) = 2 \cdot e^{- {(x - 3)}^{3}}

und i(x)=2*e^(-(x-3)^4)?"

Bei

h (x)

stimmt das offensichtlich nicht. Es liegt keine Symmetrie (im üblichen Sinn) vor.
Bei

i (x)

stimmt die Vermutung wieder. Es liegt eine Achsensymmetrie zu

x = 3

vor.

"Gibt es da womöglich eine Regel?"

Ja, die gibt es. Wie bereits weiter oben geschrieben gilt:
Seien

p : A \to B

und

q : B \to C

Funktionen und

p

(achsen-)symmetrisch zu

x = a (d . h . p (x - a) = p (- x - a))

. Dann ist auch die Verkettung/Komposition

q \circ p

(achsen-)symmetrisch zu

x = a

.

In diesem Fall also beispielsweise

p, q : ℝ \to ℝ

mit

q (x) = 2 \cdot e^{- x}

und

p (x) = {(x + 0,5)}^{2}

. Da

p

als Parabel offensichtlich eine (Achsen-)Symmetrie bzgl. der Stelle

x = - 0,5

ihres Scheitels aufweist, ist auch die Verkettung

f = q \circ p

(achsen-)symmetrisch bzgl. der Stelle.

Noch ein Hinweis dazu:
Im Allgemeinen hat (Achsen-)Symmetrie nicht wirklich viel mit Nullstellen zu tun. Das ws man sagen kann ist:
Sei

f

eine Funktion mit (Achsen-)Symmetrie zu

x = a

.
Dann hat

f

genau dann eine Nullstelle bei

x = a - b,

wenn

f

eine Nullstelle bei

x = a + b

hat.
Bzw. anders geschrieben:
Dann hat

f

genau dann eine Nullstelle bei

x = c,

wenn

f

eine Nullstelle bei

x = 2 a - c

hat.

anonymous

16:31 Uhr, 01.12.2013

"...so dass die Funktion nicht injektiv sein kann." und "...nicht surjektiv..."

Also, ist die Funktion weder injektiv noch surjektiv und somit nicht bijjektiv.

anonymous

17:04 Uhr, 01.12.2013

f (x) = 2 e^{- (x + 0, 5)^{2}}

y = 2 e^{- (x + 0, 5)^{2}}

l n (y) = l n (2 * e^{- (x + 0, 5)^{2}}) = l n (2) + l n (e^{- (x + 0, 5)^{2}})) = l n (2) - (x + 0, 5)^{2}

l n (y) = l n (2) - (x + 0, 5)^{2}

(x + 0, 5)^{2} = l n (2) - l n (y)

\sqrt{}

(x + 0, 5) = \sqrt{l n (2) - l n (y)}

(x + 0, 5) = - \sqrt{l n (2) - l n (y)}

anonymous

17:25 Uhr, 01.12.2013

"Also, ist die Funktion weder injektiv noch surjektiv und somit nicht bijjektiv."

Genau sie ist nicht bijektiv und daher nicht umkehrbar. Aber man kann sie durch Einschränkung von Definitionsbereich und Zielmenge trotzdem in bestimmten Bereichen umkehren.

Man kann sich natürlich vorher überlegen, welche Bereiche das sind, aber man kann ja auch einfach mal versuchen eine Funktionsvorschrift für die entsprechende Umkehrung zu finden, dann merkt man auch, welche Bereiche das sein müssen.

Also:

ln (y) = ln (2 \cdot e^{- {(x + 0,5)}^{2}}) = ln (2) + ln (e^{- {(x + 0,5)}^{2}}) \neq ln (2) + ln (- {(x + 0,5)}^{2})

Ich habe mal an der einen Stelle das = durch

\neq

ersetzt. Warum?

"wurde mithilfe dieser Formel umgeformt

[

(et)=t], also fliegt das

e

raus."
passt nicht.

Weil

e^{t} \neq t

für alle reellen Zahlen

t

. Sonst wäre ja Beispielsweise

0 = 1,

was schlimme Folgen hätte.
Stattdessen gilt:

ln (e^{t}) = t

Also muss da stehen:

ln (y) = ln (2 \cdot e^{- {(x + 0,5)}^{2}}) = ln (2) + ln (e^{- {(x + 0,5)}^{2}}) = ln (2) - {(x + 0,5)}^{2}

Also ein

ln

musste hinten weg.

Was du dann darunter machst ist mir schleierhaft, vor allem weil der Äquivalenzpfeil normalerweise nur zwischen zwei Aussagen Sinn macht. Du verbindest da aber jeweils zwei Terme, die keine Aussagen sind.

Versuche also

ln (y) = ln (2) - {(x + 0,5)}^{2}

weiter nach

x

aufzulösen.

Edit
Der letzte Schritt in deinem editierten Beitrag passt noch nicht. Wie kommst du von

ln (y) = ln (2) - {(x + 0,5)}^{2}

auf

ln (- {(x + 0,5)}^{2}) = ln (2) + y

??

Edit

[

2013-12-01T17:55]

ln (y) = l n \frac{(2)}{{(x + 0,5)}^{2}}

...

passt auch nicht. evtl verwirren dich die Logarithmen zu sehr.

Überlege dir mal:

a = b - {(x + 0,5)}^{2}

Wie würdest du denn das nach

x

auflösen?

anonymous

18:07 Uhr, 01.12.2013

Das x müsste links neben = sein, aber man kann x nicht ganz so einfach aus der Klammer zum Quadrat nehmen. Entweder muss man den Term zum Quadrat ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen um nur an x anstatt

x^{2}

zu kommen oder man tauscht einfach um, dabei ändern sich die Vorzeichen.

anonymous

18:18 Uhr, 01.12.2013

Also ein Teil der Vorschläge war doch nicht schlecht.

"Das

x

müsste links neben = sein"

Muss nicht, aber viele Leute tun sich so leichter.

"aber man kann

x

nicht ganz so einfach aus der Klammer zum Quadrat nehmen"

Richtig.

"Entweder muss man den Term zum Quadrat ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen um nur an

x

anstatt

x^{2}

zu kommen"

Da wäre dann das Problem, dass man neben

x^{2}

auch noch ein

x

ohne Quadrat stehen hat. Ausmultiplizieren, macht die Sache also hier eher komplizierter.

Insgesamt ist aber das mit dem Umstellen des Teiles, der

x

enthält auf die linke Seite und das Wurzelziehen keine schlechte Idee. Das machen wir jetzt mal:

ln (y) = ln (2) - {(x + 0,5)}^{2}

Auf beiden Seiten wird

{(x + 0,5)}^{2}

addiert und

ln (y)

subtrahiert:

{(x + 0,5)}^{2} = ln (2) - ln (y)

Nun der Vorschlag: Wurzel ziehen
(Da muss man aber etwas beachten, weswegen ich erst einmal abwarte, um zu sehen, was du als nächsten Schritt schreiben würdest.)

anonymous

18:24 Uhr, 01.12.2013

Hmm... Wenn man bei der linken Hälfte die Wurzel zieht, müsste man es auf der rechten Seite auch machen, aber ich denke, dass wird nicht so einfach gehen...

anonymous

18:43 Uhr, 01.12.2013

Naja, man muss halt aufpassen, dass Wurzelziehen und Quadrieren sind keine Äquivalenzumformungen sind. Folgende Dinge sind hier zu beachten:

1. Man kann Wurzeln nur von nicht-negativen Zahlen ziehen:

{(x + 0,5)}^{2}

ist aufgrund des geraden Exponentens für alle reellen Zahlen

x

nicht-negativ.

ln (2) - ln (y)

ist nur für

0 < y \leq 2

nicht-negativ (für

y \leq 0

nicht definiert und für

y > 2

negativ)

Daher kann man den nächsten Schritt nur für

y

aus der Wertemenge durchführen.

2.

{(- r)}^{2} = r^{2}

für relle Zahlen

r :

Daher wird

r^{2} = s

sowohl für

r = \sqrt{s}

als auch für

r = - \sqrt{s}

erfüllt.
Also in unserem Fall:

x + 0,5 = \sqrt{ln (2) - ln (y)}

ist genauso möglich, wie

x + 0,5 = - \sqrt{ln (2) - ln (y)}

Das ist ein Problem, welches deshalb abzusehen war, da

f

nicht injektiv (und deshalb nicht umkehrbar) ist.
Deshalb ja auch die Frage:
"Auf welchen Bereichen lässt sich

f (x)

umkehren?"

Genau das klären wir jetzt:
Wie muss man den Defnitionsbereich, aus dem die x-Werte gewählt werden, eingeschränkt werden, dass

x + 0,5 = \sqrt{ln (2) - ln (y)}

ist? Und wie muss man den Defnitionsbereich, aus dem die x-Werte gewählt werden, eingeschränkt werden, dass

x + 0,5 = - \sqrt{ln (2) - ln (y)}

ist?

anonymous

20:15 Uhr, 01.12.2013

Hallo kenkyu,

bevor ich wieder irgendetwas falsches eintippe (deshalb ?) habe ich unten die beiden Lösungen aufgeführt. Meinst du diese Form? Oder kommt im Definitionsbereich

+ \infty

und

- \infty

?

Definitionsbereich von

(x + 0, 5) = \sqrt{l n (2) - l n (y)}

:{xeR|?<x<?}

Definitionsbereich von

(x + 0, 5) = - \sqrt{l n (2) - l n (y)}

:{xeR|?<x<?} Widerspruch!

anonymous

20:27 Uhr, 01.12.2013

Naja, fast, nicht ganz.

Nun ich meine, dass wenn man den Bereich für

x

entsprechend einschränkt, fällt jeweils ein Lösungszweig weg.

Wenn du zum Beispiel weißt, dass

x + 0,5

positiv sein muss, da der Definitionsbereich von

f

entsprechend eingeschränkt wurde, so kann nicht

x + 0,5 = - \sqrt{ln (2) - ln (y)}

sein, sondern es kann höchstens

x + 0,5 = \sqrt{ln (2) - ln (y)}

gelten, womit in diesem Bereich eine eindeutige Auflösung gewährleistet ist.

anonymous

20:30 Uhr, 01.12.2013

Ist ja wie eine Fallunterscheidung. Es gibt eine wahre Aussage und einen Widerspruch.

anonymous

20:38 Uhr, 01.12.2013

Das ist nicht "wie eine Fallunterscheidung". Das IST im Prinzip eine Fallunterscheidung.

Also welche Fälle kann man unterscheiden?

anonymous

20:44 Uhr, 01.12.2013

Dass der Definitionsbereich von

(x + 0, 5) = - \sqrt{l n (2) - l n (y)}

zum Widerspruch führt.

Und dass der Definitionsbereich von

(x + 0, 5) = \sqrt{l n (2) - l n (y)}

die wahre Aussage ist (positive Zahlen für x).

anonymous

20:56 Uhr, 01.12.2013

Vielen Dank kenkyu für deine Unterstützung und vor allem für viel, viel Geduld :-) Ich weiß, du hast es nicht einfach mit mir gehabt, aber ich fand die Aufgabe sauschwierig, ebenso wie Lineare und Nichtlineare Iterierte Abbildungen. Wenn diese Aufgabe für den E-Kurs wäre, dann wäre das O.K. gewesen, aber für einen GK finde ich es viel zu schwer.

Grüße robbie2210

1130455

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