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Kompositionen von drei Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Komposition, Verkettung

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21:11 Uhr, 18.12.2010

Hallo!
Ich habe ein Problem die Zuordnungsvorschriften für folgende Komposition zu finden bzw. ich habe nicht mal einen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Ich habe die ganze Aufgabe als Bild hochgeladen.

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

21:36 Uhr, 18.12.2010

Bei der Verkettung von Funktionen, muss man nur die Funktionsgleichung die rechts vom

\circ

steht in die links vom

\circ

einsetzen:

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Beispiel:
Sei

f (x) = x^{2}

und

g (x) = 3 x

. Dann gilt für

f \circ g :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = {(3 x)}^{2}

Bei einer Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist es egal, welche man zuerst in einander einsetzt, denn die Verkettung ist assoziativ:

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

((f \circ g) \circ h) (x) = f (g (x)) \circ h (x) = f (g (h (x)))

(f \circ (g \circ h)) (x) = f (x) \circ g (h (x)) = f (g (h (x)))

(f \circ g \circ h) (x) = f (g (h (x)))

Zweites Beispiel:

f (x) = \sqrt[4]{x}, g (x) = \frac{3}{x}, h (x) = x^{5}

(f \circ g \circ h) (x) = \sqrt[4]{\frac{3}{x^{5}}}

bzw. für wen es leichter ist:

(f \circ g) (x) = \sqrt[4]{\frac{3}{x}}, h (x) = x^{5}

(f \circ g \circ h) (x) = ((f \circ g) \circ h) (x) = \sqrt[4]{\frac{3}{x^{5}}}

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21:50 Uhr, 18.12.2010

könnte ich beim letzten Bsp. auch schreiben:

${(\frac{3}{\sqrt[4]{x}})}^{5}$

anonymous

21:59 Uhr, 18.12.2010

Nein, das ist nicht die gleiche Funktion.

Die Verkettung/Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ:

f \circ g \neq g \circ h

Und genau das hast du aber gemacht, was nicht so ist:

f \circ g \circ h \neq h \circ g \circ f

Kann man auch relativ leicht am Beispiel durch Gleichsetzen überprüfen:

\sqrt[4]{\frac{3}{x^{5}}} = {(\frac{3}{\sqrt[4]{x}})}^{5}

\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{x^{5}}} = \frac{3^{5}}{\sqrt[4]{x^{5}}}

\sqrt[4]{3} = 3^{5}

falsche Aussage

Also: Immer nur das rechts vom

\circ

in das links vom

\circ

einsetzen. Nie das links vom

\circ

in das rechts vom

\circ!

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22:00 Uhr, 18.12.2010

Vielen Dank für die gute und sehr schnelle Hilfe!!!

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