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Konstante holomorphe Funktion Beweis

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: holomorphe Funktion, Komplexe Analysis, Maximumsprinzip, Möbiustransformation

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13:30 Uhr, 30.03.2020

Hallo zusammen,

ich kriege eine Aufgabe zur Komplexen Analysis einfach nicht zusammengepuzzelt. Ich habe eine Idee zur Lösung, aber so recht wollen die einzelnen Teile nicht zusammenpassen:

Hier die Aufgabe:

Sei

f : ℂ \to ℂ

holomorph mit

f (S^{1}) \subset ℝ

. Zeige, dass f auf

D^{2} = z \in ℂ : ∣ z ∣ < 1

konstant ist.

Folgender Hinweis ist gegeben: Sei

z \in D^{2}

. Dann existiert eine Möbiustransformation

φ_{A} : D^{2} \to D^{2}

mit

φ_{A} (0) = z

. Wende auf die Komposition

g = f ○ φ_{A}

die Behauptung "Sei

f : ℂ \to ℂ

holomorph mit

f (S^{1}) \subset ℝ

. Dann ist

f (0)

reell" an.

Die zu verwendende Behauptung konnte ich beweisen. Aus der Behauptung folgt für g doch folgendes:
Da

f (S^{1}) \subset ℝ

ist doch für die

φ_{A}

, die 0 auf

S^{1}

abbilden, auch

g (0) \in ℝ

. Allerdings finde ich die Möbiustransformation nicht. Außerdem fehlt mir der Zusammenhang zwischen der Behauptung angewendet auf g und der Tatsache, dass f konstant sein soll... Ich dachte, ich könnte hier irgendwie mit dem Maximumsprinzip argumentieren, dass g konstant ist (und deshalb f konstant sein muss, weil die Möbiustransformation nicht konstant ist). Dazu wollte ich zeigen, dass g für ein z in

D^{2}

auch das Maximum annimmt, was g auf dem Rand von

D^{2}

annimmt. Nach dem Maximumsprinzip wäre g dann konstant. Doch irgendwie kriege ich den Beweis einfach nicht zusammen...

Wäre froh um Hilfe! Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Punov aktiv_icon

15:28 Uhr, 30.03.2020

Hallo,

nur eine kurze Nachfrage.

Wie folgerst du

g (0) \in ℝ

g (0) = f (ϕ_{A} (0)) = f (z)

z

ist aber Element von

D^{2}

und somit nicht in

S^{1}

. Wir wissen aber nur, dass

f (S^{1}) \subset ℝ

.

Vielleicht missverstehe ich dich ja.

Viele Grüße

Fliege aktiv_icon

16:38 Uhr, 30.03.2020

Autsch... da hab ich nicht richtig hingeschaut... jetzt weiß ich noch weniger, als vorher...Trotzdem danke für den Hinweis.

Punov aktiv_icon

19:17 Uhr, 30.03.2020

Hallo!

Hier eine kleine "Anleitung" zum Beweis:

1. Beweise die Behauptung in dem gegebenen Hinweis (scheinst du ja schon gemacht zu haben).

2. Benutze den Hinweis um zu zeigen, dass

f (D^{2}) \subset ℝ

, das also nicht nur

f (\partial D^{2}) \subset ℝ

, sondern dies auch für das Innere gilt. Dann brauchst du kein Maximumsprinzip. Alternativ kannst du auch

f = u + i v

schreiben und tatsächlich mittels des Maximumprinzips argumentieren, dass

v \equiv 0

auf

D^{2}

ist. Dann brauchst du aber den Hinweis gar nicht. Du kannst dir aussuchen, was dir lieber ist. Wenn der Fragesteller aber schon den Hinweis gibt, möchte er den vermutlich auch verwendet sehen.

3. Folgere (z.B. mit dem "Satz von der offenen Abbildung" oder den Cauchy-Riemann-Gleichungen), dass

f \equiv const

auf

D^{2}

.

Viele Grüße

Fliege aktiv_icon

14:41 Uhr, 01.04.2020

Hallo,

danke für den Hinweis. Langsam lichtet sich das Chaos. Allerdings nur langsam. Ich denke, den zweiten Teil vom Beweis habe ich jetzt begriffen (wie ich aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen folgere, dass f konstant ist, ausgehend von der Tatsache, das f(z) in den reellen Zahlen liegt auf D^2 liegt. Aber aus dem ersten Teil mit der Möbiustransformation werde ich beim besten Willen nicht schlau. Wahrscheinlich muss ich (wegen dem Hinweis und der Behauptung) irgendwie zeigen, dass g(0) = f(z) in den reellen Zahlen liegt... aber ich komme nicht dahin, weil g auf dem Rand von D^2 nicht definiert ist... Hast du nochmal einen Tipp?

Danke schon mal!

Punov aktiv_icon

15:04 Uhr, 01.04.2020

Hallo,

das ist im Grunde ganz leicht: Wir wollen die Behauptung aus dem Beweis anwenden auf die Komposition

g = f \circ φ_{A}

. Dafür müssen zwei Dinge gezeigt werden:

(1)

g

ist holomorph.
(2)

g (S^{1}) \subset S^{1}

.

(1) folgt aus der Tatsache, dass die Komposition holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph ist. (2) folgt daraus, dass

φ_{A} : S^{1} \to S^{1}

(ist das klar?).

Es folgt also für beliebiges

z \in D^{2}

ℝ ∋ g (0) = f (φ_{A} (0)) = f (z)

. Somit ist

f

auch auf

D^{2}

reell.

Viele Grüße

Fliege aktiv_icon

15:57 Uhr, 01.04.2020

Hallo,

vielen Dank - jetzt weiß ich, warum ich die Aufgabe nicht lösen konnte. Punkt 2) ist mir tatsächlich unklar. Erste Frage hierzu: Muss ich nicht eigentlich zeigen: g(S^1) liegt in den reellen Zahlen, und nicht in S^1? Dann habe ich ja die Voraussetzungen von der Behauptung abgearbeitet und kann sie auf g anwenden. Zweite Frage: Warum die Möbiustransformation S^1 auf S^1 schickt, verstehe ich nicht. Ich weiß, dass Möbiustransformationen die Menge der Geraden und Kreise erhalten und ebenso das Doppelverhältnis (ist reell oder unendlich, falls die Punkte auf einem Kreis oder einer Geraden liegen). Aber was sagt mir, dass S^1 genau auf S^1 geht und nicht auf einen anderen Kreis oder eine Gerade?

Viele Grüße!

Punov aktiv_icon

16:50 Uhr, 01.04.2020

Hallo,

zu deiner ersten Frage: Ja, du hast Recht. Ich habe mich verschrieben. Wir benötigen

g (S^{1}) \subset ℝ

, was ja gilt, wenn

φ_{A} : S^{1} \to S^{1}

aufgrund der Voraussetzung dass

f (S^{1}) \subset ℝ

.

Zu der zweiten Frage: Natürlich gilt dies nicht im Allgemeinen, sondern das ist gemeint für die Möbiustransformation, die in der Aufgabenstellung angesprochen wird:

Beachte:
Jede Möbiustransformation, die die abgeschlossene Einheitskreisscheibe auf sich abbildet, ist automatisch Automorphismus bzgl. des Einheitskreises

S^{1}

und auch des Inneren

D^{2}

. Die in der Aufgabe angesprochene Möbiustransformation erfüllt insbesondere

φ_{A} : S^{1} \to S^{1}, φ_{A} : D^{2} \to D^{2}

und

φ (z) = 0

. Sie soll hier zusätzlich auch

φ_{A} (0) = z

erfüllen. Du musst sie also entsprechend wählen.

Gut wäre es, wenn du sie angeben könntest.

Viele Grüße

Fliege aktiv_icon

21:21 Uhr, 01.04.2020

Dankeschön! Ich konnte die Aufgabe glaube ich jetzt endlich nachvollziehen! :-)

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