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Konvexität einer Funktionenkomposition

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Komposition, Konvexität, Monotonie

HundimBuero aktiv_icon

19:41 Uhr, 25.04.2010

Hallo,

sitze an folgender Aufgabe:

Seien

n

∈

N

und

g : X

→

R

konvex auf der konvexen Menge

X

⊂ Rn . Es seien I ⊂

R

ein
Intervall mit

g (X)

⊂ I sowie

f : I

→

R

eine konvexe und monoton wachsende Funktion.

Zeigen Sie, dass die Komposition

f

◦

g : X

→

R

konvex ist.

Irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig, ich vermute dass man irgendwie über die Monotonie der äußeren Funktion argumentieren muss, da sich sonst Gegenbeispiele finden lassen, aber komme trotzdem auf keinen grünen Zweig. Hat jemand eine Idee?

vielen Dank im Voraus,

MfG

Peter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

19:58 Uhr, 25.04.2010

g

konvex bedeutet

g (t x + (1 - t) y) \leq t g (x) + (1 - t) g (y),

sofern

0 \leq t \leq 1

und

x, y \in X

f

konvex entsprechend (natürlich mit

x, y \in I)

Dann ist

f (g (t \cdot x + (1 - t) \cdot y))

= f (t \cdot g (x) + (1 - t) \cdot g (y) - δ)

mit

δ \geq 0

wegen Konvexität von

g

\leq f (t \cdot g (x) + (1 - t) \cdot g (y))

wegen Monotonie von

f

\leq t \cdot f (g (x)) + (1 - t) \cdot f (g (y))

wegen onvexität von

f

HundimBuero aktiv_icon

20:08 Uhr, 25.04.2010

Super, vielen Dank!

Eldoran aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.05.2013

Hey zusammen! :)

Ich muss eine Aufgabe lösen, die auf obiger Aufgabe von HundimBuero aufbaut. Quasi als Anwendung, dass alle obige Voraussetzungen erfüllt sein müssen:

Finden Sie eine konvexe Menge $X \subset R$ , eine konvexe Funktion h: $x \to R$ sowie ein Intervall $I \subset R$ (I kann auch unbeschränkt sein) mit $h (X) \subset I$ und eine konvexe Funktion i: $I \to R$ , so dass $i \circ h : X \to R$ nicht konvex ist auf X! 
(Das Beispiel soll die Wichtigkeit der Monotonie von f aus dem Aufgabenteil oben verdeutlichen). 
 
Eigentlich hört sich das ziemlich einfach an, aber irgendwie fehlt mir der Zugang. 
 
Ich definiere zuersteinmal eine beliebige konvexe Funktion h(x)=x^2. Wie sieht dann meine konvexe Menge $X \subset R$ aus? Kann man da einfach [0,unendlich) wählen? Oder wie definiert man genau eine konvexe Menge? 
Und wie soll ich dann die Funktion i wählen? Reicht da jede beliebige Nicht-monotone Funktion aus? 
 
Am liebsten wäre es mir natürlich, wenn mir das jemand direkt an einem passenden Beispiel, wo es klappt erklären könnte. 
 
Danke für die Bemühungen schonmal ;) 
Lg, Andy

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