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Kreis durch 2 Parallelen in gleich große Teile

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Kreisteile, parallel, teilen, Verhältnis

muesli96 aktiv_icon

21:41 Uhr, 27.09.2012

Ich hoffe ich kann nun meine Fragestellung korrekt erklären:

Man nehme einen Kreis, z.B.: mit Radius 1 LE
Dieser soll nun durch 2 parallele Geraden in drei gleich große Teile(I, II, III) geteilt werden.
Nun bekommt man 2 Randstücke(II, III) und ein Mittelstück(I).

Die Frage wäre nun, wie weit der Abstand zwischen den Parallelen gewählt werden muss, um die Bedingung mit den gleich großen Teilen zu erfüllen.

Wäre für einen Ansatz wirklich dankbar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

pleindespoir aktiv_icon

21:51 Uhr, 27.09.2012

Wie ist denn die "Grösse" definiert?

CKims aktiv_icon

21:56 Uhr, 27.09.2012

skizze:

berechne die flaeche des kreises

nehme ein drittel der flaeche

stelle eine formel fuer die flaeche eines kreissektors auf (das ist die flaeche eines pizzastuecks)... ziehe davon die flaeche des "inneren" dreiecks ab, so dass nur noch der äussere halbkreisrand deines pizzastuecks uebrig bleibt... setze die damit gefundene formel gleich dem drittel-flaeche von oben...

damit solltest du genuegend angaben gefunden haben, um den rest ohne schwierigkeiten zu berechnen...

muesli96 aktiv_icon

15:00 Uhr, 28.09.2012

Ich hoffe ich verstehe das jetzt richtig...

A_{K} = π r^{2}

A_{g e t e i l t} = \frac{π r^{2}}{3}

A_{K r e i s s e k t o r} = π r^{2} * \frac{α}{360 °}

A_{I I} = π r^{2} * \frac{α}{360 °} - A_{i n n e r e s D r e i e c k}

A_{g e t e i l t} = A_{I I}

Soweit habe ich es selbst auch schon bekommen.

Inneres Dreieck habe ich auch schon umgeformt, alledings bringe ich dann nie das Alpha oder eine andere Variable weg.

Im Grund will ich nur die Höhe des gleichschenkeligen Dreiecks.
Das Ergebnis des ganzen soll eine Formel sein die den Abstand ausdrückt, in Abhängigkeit zu r.
Wie kann ich nun

A_{i n n e r e s D r e i e c k}

bekommen?

DK2ZA aktiv_icon

15:31 Uhr, 28.09.2012

Bei Wikipedia findest du diese Formel für die Fläche eines Kreissegments:

A = r^{2} \cdot {cos}^{- 1} (1 - \frac{h}{r}) - \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}} \cdot (r - h)

dabei ist

h

die Höhe des Segments.

Dies soll ein Drittel der Kreisfläche sein, was zu dem Ansatz führt:

r^{2} \cdot {cos}^{- 1} (1 - \frac{h}{r}) - \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}} \cdot (r - h) = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π

Wenn man

r = 1

setzt:

{cos}^{- 1} (1 - h) - \sqrt{2 \cdot h - h^{2}} \cdot (1 - h) = \frac{1}{3} \cdot π

Die obige Gleichung wird numerisch gelöst und ergibt

h \approx 0,735

.

Der gesuchte Abstand der parallelen Geraden ist dann

2 - 2 \cdot h

.

GRUSS, DK2ZA

muesli96 aktiv_icon

17:46 Uhr, 28.09.2012

Super vielen Dank!

Nun eine Formel im direkten Zusammenhang zwischen Abstand und Radius dürfte kein Problem mehr sein.

Danke an alle!

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