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Kritische Punkte, 2 Variablen/unbekannte

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Funktion, Gradient, Partielle Differentialgleichungen, zwei Unbekannte Variablen

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22:09 Uhr, 12.11.2014

Hallo ihr Lieben,

ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen.

Ich soll die "kritischen Punkte" der folgenden Gewinnfunktion ermitteln:

f (x 1, x 2) = - 0,25 \cdot x 1^{4}

–

2 \cdot (x 1^{3} + x 2^{3}) + 9 x 1 \cdot x 2^{2}

–

350.000

Die Lösungen sollen sein:

(0,0) (- 6,0) (75,225)

Leider stehe ich etwas auf dem Schlauch und habe schon gefühlt alles ohne Erfolg ausprobiert.

Ich habe mal die ersten partiellen Ableitungen gebildet und würde diese gleich Null setzen. Aber wie es dann genau weiter geht, weiß ich leider nicht.

f’x1

(x 1, x 2) = - 1 x 1^{3} - 6 x 1^{2} + 9 x 2^{2}

f’x2

(x 1, x 2) = - 6 x 2^{2} + 18 x 1 \cdot x 2

Ich wäre super dankbar, wenn mir jemand den Rechenweg aufzeigen würde.

Vielen lieben Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

22:52 Uhr, 12.11.2014

Die Lösung liegt beinahe vor.

Du musst deine zwei partiellen Ableitungen beide gleich null setzen.

0 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9 y^{2}

0 = - 6 y^{2} + 18 x \cdot y

Das ist einfach nur ein Gleichungssystem für das du jetzt die Lösungen suchen musst, wobei diese die Form

(x, y)

haben.

Eine Lsg springt sofort ins Auge, denn für

x = 0

und

y = 0

stimmen die Gleichungen, also hast du schon mal

(0,0)

Jetzt könntest du

z . B

. so fortfahren:

0 = - 6 y^{2} + 18 x \cdot y

\Rightarrow 6 y^{2} = 18 x \cdot y

\Rightarrow 6 y = 18 x

\Rightarrow \frac{y}{3} = x

Beachte, dass man beim vorletzten Schritt ruhig durch

y

teilen kann, da wir schon die Lsg mit der Null haben. (also für jetzt

y \neq 0)

Das jetzt in obere Gleichung einsetzen:

0 = - \frac{y^{3}}{27} - \frac{2}{3} \cdot y^{2} + 9 y^{2}

0 = - \frac{y^{3}}{27} - \frac{25}{3} y^{2}

0 = y^{2} \cdot (\frac{1}{27} \cdot y - \frac{25}{3})

\Rightarrow y = 225

Dann kann man damit leicht

x

berechnen.

Jetzt könntest du trotzdem noch schauen was bei

y = 0

passiert, da

y^{2} = 0

eine doppelte Nullstelle und dann erhälst du auch die letzte Lsg.

Grüße Kim

Gloriii aktiv_icon

10:24 Uhr, 13.11.2014

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Es scheint gar nicht so schwer zu sein und ich habe fast alles verstanden. Leider wird mir der letzte Satz nicht ganz klar. Da hast du geschrieben "Jetzt könntest du trotzdem noch schauen was bei

y = 0

passiert". Kannst du mir hierfür bitte auch noch den Weg aufzeigen? Verstehe das nicht so ganz.

Danke :-)

anonymous

10:39 Uhr, 13.11.2014

Nach

0 = y^{2} \cdot (\frac{1}{27} \cdot y - \frac{25}{3})

bekommst du ja auch

y = 0

.

Mit der ersten Gleichung

0 = - x^{3} - 6 x^{2} + 9 y^{2}

ist dann

0 = - x^{3} - 6 x^{2}

\Rightarrow 0 = x^{2} \cdot (x + 6)

Also

x = 0

oder

x = - 6

Die Lösung

(0,0)

hast du schon. Also ist eine weitere und jetzt auch die letzte Lösung

(- 6,0)

Bummerang

10:46 Uhr, 13.11.2014

Hallo,

die Lösung von Kimura ist didaktisch nicht sehr schön, das führt bei Dir dazu, dass Du sie nicht ganz verstehst. Ich versuche es mal etwas strukturierter:

Betrachte im Gleichungssystem

0 = - x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 9 \cdot y^{2}

0 = - 6 \cdot y^{2} + 18 \cdot x \cdot y

zunächst nur die letzte Gleichung. Da fällt auf, dass man

y

ausklammern könnte und dann nach dem Satz vom Nullprodukt erhält, dass

y = 0

diese Gleichung erfüllt. Deshalb machen wir an dieser Stelle mal eine Fallunterscheidung und lösen das Gleichungssystem zunächst für

y = 0

und im zweiten Fall für

y \neq 0

.

Fall

1 : y = 0

Das sich durch Einsetzen von

y = 0

ergebende Gleichungssystem lautet nun:

0 = - x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 9 \cdot 0^{2} = - x^{3} - 6 \cdot x^{2}

0 = - 6 \cdot 0^{2} + 18 \cdot x \cdot 0

Es bleibt, alle Lösungen zu finden für

0 = - x^{3} - 6 \cdot x^{2} = x^{2} \cdot (- x - 6)

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist

x = 0

eine Lösung und somit

(0; 0)

ein kritischer Punkt. Ausserdem ist nach diesem Satz jedes Paar

(x; 0)

ein kritischer Punkt, welches die Gleichung

0 = - x - 6 \Leftrightarrow x = - 6

erfüllt. Damit ist

(- 6; 0)

ein weiterer kritischer Punkt und auch der letzte in diesem Fall.

Fall

2 : y \neq 0

Hier können wir in der zweiten Gleichung durch

y

dividieren und es ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

0 = - x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 9 \cdot y^{2}

0 = - 6 \cdot y + 18 \cdot x

Aus der letzten Gleichung erhält man zwischen

x

und

y

eine Beziehung, die man in die erste Gleichung einsetzt und die dazugehörige Rechnung ist die selbe wie bei Kimura, weshalb ich mir diese hier spare. Der einzige kritische Punkt in diesem Fall ist

(75; 225)

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