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Kurven Mittelwertsatz

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

anonymous

11:45 Uhr, 19.05.2017

Hallo zusammen!
Wie kann ich zeigen, dass der Mittelwertsatz für Kurven im

ℝ^{n}

mit

n \geq 2

nicht gilt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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11:48 Uhr, 19.05.2017

Wie würde der Satz dann aussehen?

anonymous

11:53 Uhr, 19.05.2017

Der Mittelwertsatz wurde bei uns wie folgt definiert:
„Sind die reellen Funktionen

f, g

auf

[a, b]

stetig, auf

(a, b)

differenzierbar, und
hat

g'

keine Nullstelle in

(a, b),

so gibt es ein

c

∈

(a, b)

mit

\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f' (c)}{g' (c)}

“

Eine Kurve bildet ja ein Intervall I in den Raum

E

s . d

. gilt:

γ : I \to E

anonymous

11:56 Uhr, 19.05.2017

Wäre es dann

\frac{γ (b) - γ (a)}{φ (b) - φ (a)} = \frac{γ' (c)}{φ' (c)}

???

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11:56 Uhr, 19.05.2017

Und wie willst Du jetzt

\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)}

ℝ^{n}

bilden?
Vektoren kann man nicht teilen.

anonymous

11:57 Uhr, 19.05.2017

Stimmt, aber reicht es zu zeigen, dass Vektoren (im mehrdimensionalen) nicht geteilt werden können?

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11:59 Uhr, 19.05.2017

Keine Ahnung. Dafür ist die Formulierung nicht präzise genug.

Was Du aufgeschrieben hast, ist auch kein klassischer Mittelwertsatz, sondern der "erweiterter Mittelwertsatz", siehe hier:
de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung

anonymous

12:01 Uhr, 19.05.2017

Das ist auch ziemlich komisch. In der Aufgabe soll ich zeigen, dass der MWS für Kurven im

ℝ^{n}

für

n \geq 2

nicht gilt. Zu Beginn des Semesters hatten wir allerdings nur den erweiterten MWS definiert und dann beim Satz von Peano ausgesagt, dass dieser nun nicht mehr im mehrdimensionalen funktioniert

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12:03 Uhr, 19.05.2017

Der "normale" funktioniert ja auch nicht, Beispiel ist

f : [0, 2 π] \to (\cos (t), \sin (t))

. Da ist

f (0) = f (2 π)

, obwohl die Ableitung nie

0

wird.

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