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Kurvenintegral über Dreieck

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Integration

Vektorräume

Tags: Dreieck, Integration, Kurvenintegral, Vektorraum

Manuel91 aktiv_icon

22:03 Uhr, 06.06.2017

Hey Leute, ich brauche Hilfe beim Thema "Kurvenintegral".

Mir fehlt leider jeder Ansatz, wie man so etwas berechnet. Vielleicht kann mir jemand anhand des folgenden Beispiels Schritt für Schritt vorrechnen bzw. zeigen was ich zu tun habe? Wäre mir eine riesige Hilfe!

Bsp:

(c)

Berechnen Sie das Kurvenintegral

\int_{C} 2 (x + y) d x + 6 \cdot x \cdot y d y,

wobei

C

den Rand des Dreiecks mit den Ecken

(0,0), (2,0), (2,2)

bezeichnet.

Vielen Dank im Vorraus! LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

korbinian aktiv_icon

11:46 Uhr, 07.06.2017

Hallo,

schreibe das Integral als Summe 2-er Integrale, entsprechend der Summanden des Integranden.
Schreibe dann jeden Summanden als Summe von 3 Summanden entlang der 3 geraden Wegstücke.

Gruß
korbinian

Manuel91 aktiv_icon

22:30 Uhr, 07.06.2017

Hallo, Danke für deine Antwort, aber ich kann mir dazu nicht viel vorstellen.

Würde gerne mal das Beispiel durchgerechnet sehen mit Rechenschritten, damit ich verstehe was da genau abgeht.

LG

pwmeyer aktiv_icon

08:30 Uhr, 08.06.2017

Hallo,

"da geht nichts ab". Was ein Kurvenintegral ist, ist in Deiner Vorlesung definiert worden. Alles was Du tun musst, ist diese Definition zu "finden" und anzuwenden.

Wenn Du damit Schwierigkeiten hast, schreib halt diese Definition hierhin und erkläre, welches Problem Du damit hast.

Gruß pwm

Manuel91 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.06.2017

Im Anhang ist einmal die Definition aus meinem Skript, die ich nicht verstehe, sowie eine Mitschrift des Beispiels, die ich auch nicht nachvollziehen kann.

Vielleicht kann mir ja jemand sagen, wie in der Skizze die Vektoren

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ t \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 - t \\ 2 - t \end{matrix})

zustande kommen?

Ich verstehe auch nicht ganz, wie sich das Integral dann zusammensetzt. Ich verstehe beispielsweise auch nicht, wie aus dem Vektor

(\begin{matrix} 2 \cdot (x + y) \\ 6 \cdot x \cdot y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

entsteht. Das

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

die Ableitung von

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

nach

t

ist kann ich natürlich nachvollziehen.

Würde mich sehr über Hilfe freuen, da Kurvenintegrale ein großer Bestandteil unseres nächsten Tests sind und ich niemanden habe, der mir das genau erklären kann.

Ich hoffe, dass mir jemand ein wenig weiterhelfen kann, bin schon recht verzweifelt...

Gruß Manuel

Manuel91 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.06.2017

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ t \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 - t \\ 2 - t \end{matrix})

zustande kommen?

Ich verstehe auch nicht ganz, wie sich das Integral dann zusammensetzt. Ich verstehe beispielsweise auch nicht, wie aus dem Vektor

(\begin{matrix} 2 \cdot (x + y) \\ 6 \cdot x \cdot y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

entsteht. Das

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

die Ableitung von

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

nach

t

Manuel91 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.06.2017

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ t \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 - t \\ 2 - t \end{matrix})

zustande kommen?

Ich verstehe auch nicht ganz, wie sich das Integral dann zusammensetzt. Ich verstehe beispielsweise auch nicht, wie aus dem Vektor

(\begin{matrix} 2 \cdot (x + y) \\ 6 \cdot x \cdot y \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 t \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

entsteht. Das

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

die Ableitung von

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

nach

t

pleindespoir aktiv_icon

23:03 Uhr, 08.06.2017

Stell die Bilder grade rein und lösche die Multipostings

Manuel91 aktiv_icon

23:20 Uhr, 08.06.2017

Ich weiß leider gerade nicht wie ich die Multipostings lösche, dürfte an meinem dürftigen Internet liegen, dass das mehrmals hochgeladen wurde, sorry. Versuche auch die Bilder noch einmal hochzuladen - auf meinem PC sind sie gerade, verstehe nicht warum sie auf einmal gedreht sind...

EDIT: Ich kann scheinbar nur den letzten Beitrag löschen, solange bis jemand anderer kommentiert, bei den anderen habe ich kein "Bearbeiten"-Feld.
Die Bilder sind außerdem wieder gedreht worden und ich weiß nicht warum...

korbinian aktiv_icon

12:56 Uhr, 09.06.2017

Hallo,

kein Problem, man kann den Bildschirm drehen :-).
Die Kurve C (Rand des Dreiecks) wird in 3 Teilkurven zerlegt:
C1: von (0/0) nach (2/0)
C2: von (2/0) nach (2/2)
C3: von (2/2) nach (0/0)

Jede dieser Kurven wird nun in Paramezerform (s. Skript) dargestellt. D. h. wir erhalten 3 Abbildungen von einem Intervall in die Ebene.
Als Intervall wählen wir (zweckmäßiger Weise) [0/2]. Jeder Zahl t aus diesem Intervall wird nun ein Punkt der Kurve zugeordnet; und umgekehrt. Konkret:

C 1 : t \mapsto (\begin{array}{rcl} t \\ 0 \end{array})

Das soll der Vektor, nach dem du fragst, sein.
Kannst du dir die beiden anderen jetzt selbst erklären?
Wenn nicht, melde dich wieder.
Das Produkt aus

3

Vektoten, das du nicht verstehst, steht so nicht da.
Du musst jetzt in deinem Vektorfeld x durch die x-Koordinate deiner Kurve, bei C1 also
durch t, und die y-Koordinate die y-Koordinate deiner Kurve, bei C1 also
durch 0, ersetzen und mit dem Ableitungsvektor multiplizieren.
Kommst jetzt selbst weiter? Nur Mut, versuchs mal; wenn nicht melde dich wieder.
Viel Glück
korbinian

Manuel91 aktiv_icon

21:49 Uhr, 09.06.2017

Wow danke, dass du dir die Zeit genommen hast für so eine ausführliche Erklärung! Ich habe, denke ich zumindest, fast alles verstanden. Das einzige, wo ich noch auf ein wenig anderes Ergebnis komme ist die Parametrisierung... Peinlich, ich weiß...

Ich bin die Parametrisierung so angegangen:

Wenn ich meine Eckpunkte als

A = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

und

C = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

bezeichne, dann geht meine erste Kurve,

C 1

ja von A nach B. Für die Parametrisierung bin ich dann folgendermaßen vorgegangen:

C 1 : A + t \cdot (B - A) \to (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot [(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 2 t \\ 0 \end{matrix})

ich verstehe leider noch nicht ganz wie ich hier auf

(\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix})

komme.

Für

C 2

und

C 3

dasselbe Problem:

C 2 : B + t \cdot (C - B) \to (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot [(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 2 \\ 2 t \end{matrix})

C 1 : C + t \cdot (A - C) \to (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 2 - 2 t \\ 2 - 2 t \end{matrix})

Kommt dem eigentlichen Ergebnis schon recht nahe aber doch nicht dasselbe...

Du hast es mir schon erklärt, aber diesen Part verstehe ich noch nicht ganz - den Rest allerdings schon. Danke noch einmal vielmals :-)

LG

korbinian aktiv_icon

00:21 Uhr, 10.06.2017

Hallo,

nicht peinlich - ich denke, jetzt hast du´s verstanden. So kannst du auch vorgehen. Du hast die Kurve nur anders parametrisiert. Allerdings hast du bereits bei t=1 den Endpunkt der jeweiligen Strecke erreicht; d.h. du hast das Intervall [0/1] verwendet. Folge: deine Integrale haben die Grenzen 0 und

1

.Rechne das mal konsequent aus - du musst am Ende zum gleichen Ergebnis kommen.
Sollten doch noch Probleme auftreten, melde dich wieder.
gruß
korbinian
PS: Sollte ich nichts mehr von dir hören - viel Glück beim nächsten Test

Manuel91 aktiv_icon

00:43 Uhr, 10.06.2017

Ja, ich denke jetzt hab ich es wirklich verstanden! Habe die Rechnung mit meiner Parametrisierung und den Grenzen 0 bis 1 noch einmal gemacht und komme, wie du gesagt hast, auf dasselbe Ergebnis :-D)

Vielen lieben Dank für die Hilfe und wegen dem Test mach ich mir jetzt schon weniger Sorgen dank dir ;-) LG

stu4rd aktiv_icon

20:46 Uhr, 02.10.2018

Hallo,

nur eine kurze Frage, wie würden die zu wählenden Grenzen aussehen bei einer Dreiecksfläche mit den Randpunkten

A = {(200)}^{T}, B = {(020)}^{T}

und

C = {(004)}^{T}

Also von

{(200)}^{T}

nach

{(020)}^{T}

{(020)}^{T}

nach

{(004)}^{T}

und

{(004)}^{T}

nach

{(200)}^{T}

Mit freundlichen Grüßen
Florian

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