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Letzten Summand aus Summe ziehen. So richtig?

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Summand, Summe

Vanni88 aktiv_icon

20:45 Uhr, 30.01.2014

Hallo zusammen,

ich habe schon das ganze Internet durchsucht aber immer noch keine Antwort auf meine Frage gefunden. Hoffe ihr könnt weiterhelfen.
Lerne gerade für einen Mathetest und bin beim Summenzeichen hängen geblieben.

Ich möchte den letzten Summanden rausziehen. Habe auch schon einen Lösungsweg. Könnt ihr das bitte kontrollieren?
Die Ausgangssumme lautet:

\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - Z_{i})

Lösung:

(x_{i} - Z_{i}) + \sum_{i = 1}^{n} (x_{i - 1} - Z_{i - 1})

Normalerweise müsste das doch richtig sein?! Man zieht das letzte Glied aus der Summe raus. Deshalb geht die Summenformel nur bis i-1. Am Ende summiert man das letzte Summenglied einfach dazu.
Was denkt ihr?

LG

Vanni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Edddi aktiv_icon

20:53 Uhr, 30.01.2014

...dann lass doch die Reihe nur bis

n - 1

laufen.

Bedenke, das bei deiner Form auf einmal noch der Summand

x_{0} - Z_{0}

dazugekommen ist. Der war vorher nicht da!

Du musst also dann mit

i = 2

anfangen.

:-)

Vanni88 aktiv_icon

21:02 Uhr, 30.01.2014

Hi Edddi,

ja stimmt es kommt

x_{0} - Z_{0}

hinzu, aber diese Werte sind 0.
Es geht eigentlich darum folgende Formel nach

x_{j}

umzustellen:

x_{j} = N_{t} - b \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) - y \sum_{j = 1}^{t} (x_{j} - Z_{j})

Meine Lösung für das ganze lautet bisher:

(1 + y) x_{j} = N_{t} - b \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) + y (Z_{j} \sum_{j = 1}^{n} (x_{j - 1} - Z_{j - 1}))

Kannst du das vielleicht kontrollieren?

LG

Matlog aktiv_icon

21:21 Uhr, 30.01.2014

"Es geht eigentlich darum folgende Formel nach

x_{j}

umzustellen:"

Die von Dir angegebene Formel finde ich sehr verwirrend!

j

ist der Laufindex der beiden Summen

(j

ändert sich somit dauernd innerhalb der Summen) und auf der linken Seite schreibst Du

x_{j}

. Außerhalb der Summen macht die Verwendung der Variable

j

keinen Sinn.

Möglicherweise solltest Du noch einen weiteren Schritt zurück gehen, was Du eigentlich machen willst.

Vanni88 aktiv_icon

22:01 Uhr, 30.01.2014

Oh sorry, habe mich irgendwie vertan. Meinte eigentlich so:

x_{t} = N_{t} - b \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) - y \sum_{j = 1}^{t} (x_{j} - Z_{j})

Meine Lösung für das ganze lautet bisher:

(1 + y) x_{t} = N_{t} - b \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) + y (Z_{j} \sum_{j = 1}^{n} (x_{j - 1} - Z_{j - 1}))

Zum Verständnis. Die beiden Variablen

x_{t} = . . . \sum (x_{j} . . .

beziehen sich auf die aktuelle Periode.
Wenn ich t=2 setzte, dann meine ich damit z.B. die zweite Woche.
Die Summe geht dann bis zur zweiten Woche. Das Problem ist aber:

Wie kann ich

x_{2}

in der Summenformel wissen, wenn ich doch

x_{2}

(links vom Gleichheitszeichen) erst ermitteln will.
Deshalb muss man die ganze Formel nach

x_{t}

umstellen. Also das

x_{j}

aus der Summenformel rausziehen.
Hoffe es ist jetzt verständlicher rübergekommen :-)

LG

Matlog aktiv_icon

23:04 Uhr, 30.01.2014

Ja,

x_{t}

auf der linken Seite macht Sinn!

Deine Umformung ist aber noch nicht ganz richtig.
Du hast jetzt wieder ein

j

außerhalb der Summe bei

Z_{j},

Du meinst vermutlich

Z_{t}

.
Zwischen

Z_{t}

und der zweiten Summe muss ein

+

oder - stehen. Ist egal, weil hinten die Vorzeichen insgesamt nicht mehr stimmen. Und dann läuft die zweite Summe bis n? Damit meinst Du t?

Ich schreibe das mal langsam hin:

x_{t} = N_{t} - b \cdot \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) - y \cdot \sum_{j = 1}^{t} (x_{j} - Z_{j})

x_{t} = N_{t} - b \cdot \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) - y \cdot ((x_{t} - Z_{t}) + \sum_{j = 1}^{t - 1} (x_{j} - Z_{j}))

x_{t} + y \cdot x_{t} = N_{t} - b \cdot \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) - y \cdot (- Z_{t} + \sum_{j = 1}^{t - 1} (x_{j} - Z_{j}))

x_{t} \cdot (1 + y) = N_{t} - b \cdot \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) + y \cdot (Z_{t} - \sum_{j = 1}^{t - 1} (x_{j} - Z_{j}))

x_{t} = \frac{N_{t} - b \cdot \sum_{j = 1}^{t} (Z_{j} - A_{j}) + y \cdot (Z_{t} - \sum_{j = 1}^{t - 1} (x_{j} - Z_{j}))}{1 + y}

für

y \neq - 1

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