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Lineare Hülle von Funktionen?

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Tags: Funktion, Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

Sibat aktiv_icon

12:07 Uhr, 20.11.2009

Hi!
Ich hab vor einem Monat mein Studium in Luft- und Raumfahrttechnik angefangen und hab - wie viele andere - ein paar Problemchen mit der höheren Mathematik.
Und zwar habe ich zwei Funktionen im Vektorraum C^0(

[

0,2pi]), soll heißen die Menge aller stetigen Funktionen auf dem gegebenen Intervall.

f_{1} : ℝ \to ℝ : x \mapsto 1

f_{2} : ℝ \to ℝ : x \mapsto cos (2 x)

So, nun soll ich folgende Aussagen begründen:

a)

Die Funktionen

f_{1}

und

f_{2}

sind linear unabhängig.
Da hab ich mir einfach gedacht, dass die Linearkombination beider Funktionen gleich Null sein muss, also so:

a_{1} \cdot f_{1} + a_{2} \cdot f_{2} = 0

und wenn es keine nicht triviale Lösung gibt, sind die Funktionen

l . u .,

oder?
Dann aber blöd gefragt, wie löse ich eine Gleichung mit zwei Variablen?

b)

Es gilt (sin(x))² el

L (f_{1}, f_{2})

und (cos(x))² el

L (f_{1}, f_{2})

.
Wie prüfe ich das nach? Ich weiß, dass die lineare Hülle die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren ist. Wäre das hier also auch wieder:

L = {a_{1} \cdot f_{1} + a_{2} \cdot f_{2} | a_{1}, a_{2}

ℝ}

?
Wenn ich dann

a_{1} \cdot f_{1} + a_{2} \cdot f_{2} = {sin}^{2} (x)

gleichsetzte, komme ich überhaupt nicht weiter=(

c)

Es gilt

sin (x) cos (x)

!el

L (f_{1}, f_{2})

.
Selbes Problem...

Im Skript finde ich leider keinerlei Hinweise und wüsste nicht, wer mir das anschaulich erklären könnte.
Vielen Dank schon mal im Voraus!

EDIT: Die Zahlen direkt hinter den Variablen sollen Indizes sein, hat mit der Eingabe per Unterstrich wohl nicht ganz funktioniert...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

t51200 aktiv_icon

12:27 Uhr, 20.11.2009

Hallo Leidensgenosse/in. Ich mache gerade auch Mathe und unser Tutor hat uns sehr gut geholfen in der letzten Übung. Ich schreib dir erst mal nur Tips falls du die Aufgaben selbst lösen möchtest. Wenn du nicht weiterkommst schreibe einfach noch einmal.

zu

a :

dein Ansatz ist richtig. Du hast

a \cdot 1 + b \cdot cos (2 x) = 0

Jetzt nimm ein paar Werte für

x

und schau ob es möglich ist eine nicht triviale Lösung zu finden. So wie ich das verstanden habe müsstest du für eine nicht triviale Lösung ein a und ein

b

finden sodass für ein beliebiges

x

die Gleichung erfüllt ist.
Du kannst auch zwei x-Werte nehmen und damit zwei Gleichungen aufstellen.

zu

b :

das Stichwort lautet Additionstheoreme de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme). Schreib dein

{sin}^{2}, {cos}^{2}, cos (2 x)

oder auch die 1 mal um und schau ob du weiter kommst.

zu

c :

unser Tutor meinte, wir sollen eine Wertetabelle erstellen

Mfg

t 51200

Sibat aktiv_icon

22:42 Uhr, 20.11.2009

Hi!
Danke für deine schnelle Antwort=)
Die Idee mit den Additionstheoremen hatte ich auch schon gleich, nur irgendwie will's nicht so wirklich wie ich will...
Hast eine Lösung für Teil

b)

? Aber solang das Problem nur beim Umformen liegt, ist das ganze ja auch halb so wild!
Das mit der Wertetabelle bei Teil

c)

hab ich jetzt leider gar nicht verstanden... Du meinst, man soll für die verschiedenen Faktoren a (oder wie sie auch immer heißen) den Wert der Linearkombination angeben, oder wie?
Sorry, ist alles ein bisschen viel...
Ich kann mir auch unter der linearen Hülle von Funktionen so direkt nichts anschaulich vorstellen, ich kenne nur die Definition und das macht die Sache halt nicht gerade leichter=(

t51200 aktiv_icon

10:15 Uhr, 21.11.2009

Die Lineare Hülle ist ja die Menge aller Linearkombinationen. Wenn du zwei Vektoren

v 1

und

v 2

hast dann ist die Lineare Hülle

a \cdot v 1 + b \cdot v 2,

also praktisch alle Vektoren, die du durch die beiden gegebenen Vektoren darstellen kannst.
Wenn du zwei Funktionen hast ist das genau das Selbe

a \cdot f 1 + b \cdot f 2

.

Wenn es in

b

jetzt heißt:

{sin}^{2} (x)

ist Element des Linearen Aufspanns von

f 1

und

f 2,

dann heißt das nichts anderes, als dass man

{sin}^{2} (x)

durch eine linearkombination der beiden Funktionen darstellen kann:

a \cdot f 1 + b \cdot f 2 = {sin}^{2} (x)

wenn man die Funktionen einsetzt:

a \cdot 1 + b \cdot cos (2 x) = {sin}^{2} (x)

die 1 schreiben wir als

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)

und

cos (2 x)

schreiben wir als cos^2(x)-sin^2(x)und schieben die rechte Seite noch rüber:

a ({sin}^{2} + {cos}^{2}) + b ({cos}^{2} - {sin}^{2}) - {sin}^{2} = 0

Die Klammern hinter sin und

cos

hab ich mal weggelassen, da ja in allen nur noch

x

steht.

Jetzt einfach alles ausmultiplizieren und anschließend

{sin}^{2}

und

{cos}^{2}

ausklammern:

{sin}^{2} (x) \cdot (a - b - 1) + {cos}^{2} (x) \cdot (a + b) = 0

Damit die Gleichung für jedes

x

stimmt müssen jeweils die Klammern 0 ergeben:

a - b - 1 = 0

a + b = 0

Wenn man das ausrechnet bekommt man für a und

b

einen Wert, was uns wiederum sagt, dass wir

{sin}^{2} (x)

tatsächlich durch eine Linearkombination der beiden anderen Funktionen ausdrücken können.

Bei Aufgabe

c

stellst du wieder die Gleichung auf. Dann setze verschiedene x-Werte ein (mindestens drei verschiedene) und schau, ob sich ein a und ein

b

finden lässt, sodass für jedes

x

die Gleichung erfüllt ist.

Sibat aktiv_icon

17:05 Uhr, 21.11.2009

Hi,

t 51200!

Vielen Dank für deine schnelle und wirklich ausführliche Hilfe=)
Ich glaub, so langsam fang ich an, das Zeug zu verstehen.
Danke!

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