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Lineare und quadratische Approximation ( Funktion)

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Funktionalanalysis

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Lineare Approximation, quadratische Approximation

 
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Mialein

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18:49 Uhr, 13.09.2010

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Hallo Zusammen :-)
Und zwar bereitet mir folgende Aufgabe Kopfzerbrechen :(

Es sei folgende Funktion gegeben f(x)=ln(2x-1)
a) Bestimmen sie an der Stelle x∘=1 die lineare und quadratische Approximation !

Danke an alle die sich Zeit nehmen,mir zu helfen !
Lg Mialein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

18:59 Uhr, 13.09.2010

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Das klingt sehr stark nach Taylorentwicklung:
Die lineare Approximation ist die Tangente, also Entwicklung bis zur ersten Ableitung.
Die quadratische geht dementsprechend eine Stufe weiter.
Mialein

Mialein aktiv_icon

19:05 Uhr, 13.09.2010

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Aha das ist schon mal gut das ich weis worum es geht:-)Kannst du mir das ein bisschen erklären? Also wie man diese Taylorentwicklung angeht?
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Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

19:30 Uhr, 13.09.2010

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Ja, gerne.

Was wir sowieso noch brauchen werden, sind die ersten beiden Ableitungen, also
fʹ(x)=22x-1 und
fʺ(x)=-4(2x-1)2
Im Prinzip brauchen wir nur fʹ(1)=2 und fʺ(1)=-4
Jedenfalls sind die beiden Taylorentwicklungen für die lineare (L(x)) und die quadratische Approximation (Q(x)) an einer Stelle x0 folgendermaßen definiert:

L(x)=f(x0)+fʹ(x0)(x-x0) und
Q(x)=f(x0)+fʹ(x0)(x-x0)+12fʺ(x0)(x-x0)2.

Sieht auf jeden Fall schlimmer aus, als es ist! Wir haben schon alle Vorbereitungen getroffen und können einsetzen:
L(x)=ln(1)+2(x-1)=2x-2 (eine lineare Funktion) und
Q(x)=ln(1)+2(x-1)-2(x-1)2=6x-4-2x2 (quadratische Funktion).

Ja, das war's auch schon. Wenn Du das gemeinsam mit f zeichnest siehst Du, dass sich diese Approximationen an den Graph anschmiegen.
Mialein

Mialein aktiv_icon

19:59 Uhr, 13.09.2010

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Das ist ja Super! Ich hab alles verstanden und kann(auch wenn ich es bis jetzt nicht kannte) alles nachvollziehen :-) Vielen lieben Dank , du hast mir echt geholfen :-) Liebste Grüße !
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