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Linearfaktorzerlegung mit komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Linearfaktorzerlegung, polynom, Polynomdivision

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19:52 Uhr, 17.02.2015

Hallo zusammen,

Ich hänge gerade an einer komplexen Linearfaktorzerlegung in . Das gegebene Polynom ist:

z^{5} - z^{4} + 3 z^{2} - 4 z + 4

Raten der Nullstelle liefert:

2 i

Da im Polynom kein imaginären Zahlen vorkomen , ist die komplex konjugierte Nullstelle auch eine Nullstelle:

- 2 i

Durch multiplizieren der beiden Nullstelle

(z - 2 i) (z + 2 i)

kommen wir an einen Term der keine imaginären Zahlen beinhaltet

(z^{2} + 4)

der uns die Polynomdivision erleichtert.

Es folgt also

(z^{5} - z^{4} + 3 z^{2} - 4 z + 4) : (z^{2} + 4) = z^{3} - z^{2} - z + 4 - \frac{12}{x^{2} + 4}

(durch Polynomdivision). Diese liefert jedoch ein Polynom mit einem Rest, den

- \frac{12}{x^{2} + 4}

.

Ich habe nun folgendes Problem/fehlendeds Verständniss:

Bedeutet der Rest nach der Polynomdivision das sich keine Nullstellen mehr finden lassen?

Wenn nein, wie gehe ich dann vor um eine weiter Polynomdivison durchzuführen? Eine Nullstelle finden ist bestimmt möglich doch wie führt man dann die Division durch?

Wenn ja lassen sich die Faktoren aufschreiben

+

dem Ergebnis der Polynomdivision? Also:

(z - 2 i) (z + 2 i) (z^{3} - z^{2} - z + 4 - \frac{12}{x^{2} + 4})

Dies wären jedoch keine Linearfaktoren...

Viele Grüße und danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

20:17 Uhr, 17.02.2015

Hallo
es heisst einfach, dass du eine falsche Nullstelle geraten hast. Wenn man durch eine echte Nst dividiert MUSS es aufgehen.
es gibt keine ganzzahlige Nst ! vielleicht ist das Polynom falsch? oder du sollst numerisch rechnen?
(wolfram

α

findet die nst schnell! (ich auch nicht)
Gruß leduart

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20:25 Uhr, 17.02.2015

Vielen Dank für die Antwort!

Glaube kaum das das Polynom falsch ist, es stamt aus dem alten Übungsblatt das ich gerade durchgehe als Vorbereitung auf die Prüfung.
Die Nullstelle funktioniert wenn ich sie einsetze und auch Wolfram

α

nennt

2 i

und

- 2 i

als Nullstelle.

Die einzige Fehlerquelle die ich jetzt noch sehe ist das Wolfram

α

auch eine reelle Nullstelle liefert:

1,

die habe ich erstmal nicht ausprobiert da es in der Aufgabenstellung hieß man soll über

C

(dem Zahlenraum) in Linearfaktoren zerlegen. Ich werde jetzt aber mal die Nullstelle ausprobieren nachdem du meintest

- 2 i

und

2 i

sind schlichtweg falsch (was ja auch durchaus Sinn macht) ;-)

Liebe Grüße

abakus

20:32 Uhr, 17.02.2015

Hallo,
1 ist keine Nullstelle, wie dir eine Probe schnell zeigt.
Übrigens: reelle Zahlen gehören AUCH zu den komplexen Zahlen.

pleindespoir aktiv_icon

20:33 Uhr, 17.02.2015

Wenn die Polydiv. nicht aufgeht, hast Du falsch geraten.

Guck mal ob die Gleichung überhaupt stimmt - da kann man nix raten.

pleindespoir aktiv_icon

20:36 Uhr, 17.02.2015

0 = x^(5) - x^(4) + (3 * x^(2)) - (4 * x) + 4

x = (-1.6280692194511313440984),
x = 1.0410946632657356543964 + (0.77013310197150187902498 * ί),
x = 1.0410946632657356543964 - (0.77013310197150187902498 * ί),
x = 0.27293994645983001765284 + (1.1792260212375533875668 * ί),
x = 0.27293994645983001765284 - (1.1792260212375533875668 * ί)

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20:42 Uhr, 17.02.2015

Danke an alle die geantwortet haben, das Polynom ist in der Tat falsch, ich habe es in aller Aufregung falsch abgetippt. Das tut mir wirklich leid, ich weis wie sehr es nerven kann falsche Ausgangspunkte zu haben.

Hier nochmal das richtige Polynom das laut Wolfram

α

die obigen Nullstellen hat:

z^{5} - z^{4} + 3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4

PS: Ja tschuldigung war verwirrt mit dem englischen "real solutions" auf wolram

α

;-)

abakus

20:50 Uhr, 17.02.2015

Hallo,
dann ist 1 eine Nullstelle, und hier muss man nicht mal Polynomdivision machen, denn aus den drei Paaren
1. und 2. Summand,
3. und 4. Summand,
5. und 6. Summand
kann man jeweils sofort z-1 ausklammern und erhält

(z - 1) \cdot z^{4} + (z - 1) \cdot 3 z^{2} - 4 (z - 1)

.
Da bleibt eine schöne biquadratische Gleichung übrig.

pleindespoir aktiv_icon

20:55 Uhr, 17.02.2015

"da es in der Aufgabenstellung hieß man soll über C (dem Zahlenraum) in Linearfaktoren zerlegen."

heisst nicht zwingend, dass man mit komplexen Lösungen anfangen muss zu rätseln.

pleindespoir aktiv_icon

21:07 Uhr, 17.02.2015

z^{5} - z^{4} + 3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4 = 0

z_{1} = 1

Linearfaktor:

(z - 1)

Polynomdivision:

(z^{5} - z^{4} + 3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4) : (z - 1) = z^{4} + 3 z^{2} - 4

z^{5} - z^{4}

-----------------------------------

3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4

3 z^{3} - 3 z^{2}

----------------------------------

- 4 z + 4

- 4 z + 4

-----------------------------------

0

z^{4} + 3 z^{2} - 4 = 0

s = z^{2}

s^{2} + 3 s - 4 = 0

abakus

21:10 Uhr, 17.02.2015

Das war jetzt irgendwie überflüssig, oder?

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21:17 Uhr, 17.02.2015

Nicht unbedingt, es zeigt jedenfalls dass man die Lösung auch so berechnen kann, danke

Vielen Dank an euch! Die Lösung mit der biquadratischen einfach ist ja super einfach und schnell gemacht, vielen Dank! Das sind immer die Lösungen wo man sich denkt: Mensch wieso bin ich nicht früher drauf gekommen.

Viele Grüße!

pleindespoir aktiv_icon

21:30 Uhr, 17.02.2015

"Das war jetzt irgendwie überflüssig, oder?"

Gast62 -Lösung erfordert leicht fortgeschrittenes Erkennen.
Mein Lösungsweg ist geradeaus ohne Tricks und Abkürzungen und immer anwendbar, auch wenn man nicht so leicht erkennt, was man ausklammern kann. Meistens erkennt man es nämlich nicht und von daher sind solche "Vereinfachungen" gerade für Ungeübte der letzte Schritt, der in den Abgrund führt.

"Schnell" ist fast immer nur schnell falsch. Lieber in kleinen Schritten nachvollziehbar (für den Korrektor) vorgehen, das gibt mehr Punkte, als ein "Überschritt", der leicht verpeilt und womöglich völlig falsch ist.

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22:47 Uhr, 17.02.2015

So ich habe die Polynomdivision nochmal durchgerechnet mit der 1 als Nulstelle und danach noch 2 mal die Polynomdivision angewendet um weiter Nullstellen und somit Linearfaktoren gefunden.

Hier sind alle Nullstellen die ich gefunden habe:

1, 2, - 2, - 1, 1

. Ich habe hier zweimal eine eins gefunden und jetzt als Lösung

(z - 1) (z + 1) (z - 2) (z + 2) = z^{5} - z^{4} + 3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4

hingeschrieben.

Meine Frage ist jetzt ob das formell auch so richtig ist nur 4 Nullstellen hinzuschreiben, wobei man doch die 1 zweimal gefunden und somit 5 Nullstellen hat.

abakus

23:00 Uhr, 17.02.2015

Hallo,
selbstverständlich müssen mehrfache Nullstellen auch durch mehrere gleiche Linearfaktoren repräsentiert werden. Der Faktor (z-1) muss also zweimal auftauchen.
Die "Nullstellen" 2 und -2 sind übrigens falsch, denn die Gleichung z²+4=0 hat keine reellen Lösungen.

Dotile aktiv_icon

00:00 Uhr, 18.02.2015

Bei meinen Polynomdivision konnte ich mit diesen aber ohne Probleme rechnen. Habe die auch mit dem Polynomdivisionrecher hier matheguru.com/rechner/polynomdivision überprüft.

z^{5} - z^{4} + 3 z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 4 : (z - 1) = z^{4} + 3 z^{2} - 4

z^{4} + 3 z^{2} - 4 : (z - 2) = z^{3} + 2 z^{2} + z + 2

z^{3} + 2 z^{2} + z + 2 : (z + 2) = z^{2} + 1

Habe gerade beim abtippen gemerkt das ich da doch einen Fehler habe und die Nullstellen von

z^{2} + 1

sind natürlich nicht

- 1

und

+ 1

sondern

- i

und

i

. Das tut mir leid aber das sind die kleinen Leichtsinnsfehler die man sehr leicht übersieht ;-).

Es folgt also:

(z - 1) (z - 2) (z + 2) (z - i) (z + 1)

Nochmal entschuldigung. Werde ab sofort besser aufpassen :-)

pleindespoir aktiv_icon

04:59 Uhr, 18.02.2015

Da is immernoch der Wurm drin.
Nichtreelle Nullstellen treten grundsätzlich konjugiert komplex auf.

abakus

08:10 Uhr, 18.02.2015

Hallo Dotile,
deine Polynomdivision durch (z-2) ist fehlerhaft. z=2 IST KEINE NULLSTELLE!

Es gilt

z^{4} + 3 z^{2} - 4 = (z^{2} - 1) (z^{2} + 4)

(davon kannst du dich durch ausmultiplizieren der rechten Seite überzeugen).
Wenn das jetzt Null sein soll gilt entweder z²-1=0 (mit zwei reellen Lösungen) oder z²+4=0 (mit zwei imaginären Lösungen).

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