Polynomdivision

Ein Polynom ist eine Summe von mehreren Potenzfunktionen [mehr dazu], die als Exponenten natürliche Zahlen ${\displaystyle (\mathrm{0,1}\mathrm{,2}\mathrm{,3},...)}$ haben.

Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6}$

Die Funktion kann auch geschrieben werden als:



Ist der Funktionsterm ein Produkt aus Linearfaktoren, lassen sich die Nullstellen [mehr dazu] leicht ablesen.
${\displaystyle (\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}.\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. wird die erste Klammer Null, wenn man 1 einsetzt; und somit das gesamte Produkt.)

In diesem Fall sind an den x-Werten ${\displaystyle +1,-2}$ und ${\displaystyle +3}$ Nullstellen [mehr dazu].





Wie faktorisiert man den Funktionsterm?

Mit der sog. Polynomdivision:


1) Die erste Nullstelle raten (1,-1,2,-2,3,…)

${\displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-5\cdot 1+6=0 \Rightarrow }$ Der Funktionsterm enthält den Term ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$.


2) Polynomdivision



Zwischenergebnis:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\cdot ({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6)}$


3) Die Gleichung ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6=0 }$ lässt sich mit Hilfe der Mitternachtsformel [mehr dazu] faktorisieren.

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=3 }$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=-2}$

Somit: ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)}$

Endergebnis: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-5\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)}$


Methode

Nachzulesen in folgenden Beispielsaufgaben:
Nullstellen [mehr dazu] von Polynomfunktionen
Polynomdivision