Lipschitz Stetigkeit am Beispiel

Hallo,

ich habe im anhängenden Bild zeigen wollen, wie man bei f(x)=x²+2x nachweißt, ob sie lipschitzt stetig ist.

Ich weiß nur nicht, wie ich an "L" herankommen soll.

Ich würde nach L umstellen, und es dann weiter oben wieder einsetzen, nur in den Büchern kommen immer Deltas und Epsilons vor. Wie ich die, oder wo ich die herzaubern soll ist mir ein Rätsel.

Kann das jemand nachvollziehbar erklären, bitte nicht so wie die Profs, da versteht man überhaupt nichts.

Schon mal danke!

Wie meinst Du das mit einschränkender Bedingung?

In der Definition steht darüber nichts, hmm.

Alles richtig auf Deinem Zettel:

${\displaystyle |\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2|\le \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Widerspruch, wenn Du zu Beginn Deiner Rechnung einfügst:

"Annahme: f ist Lipschitz-stetig.

<=> Es gibt ein L aud IR mit ..."

Die reellen Zahlen sind unbeschränkt,also gibt es kein L mit der geforderten Eigenschaft. f ist nicht Lipschitz-stetig

Du sollst prüfen, ob L-Stetig oder nicht! Also nutze die Definition L-Stetigkeit!

Annahme. siehe letzen post!

Deine Rechnung!

Feststellung: Widerspruch!

Folgere: nicht L-stetig

Also wir haben die Def. zu Lipschitz stetig so kennengelernt:

f: D Teilmenge C --> C ist lipschitzt stetig, mit Lipschitz- Konstante L, wenn gilt:

|f(x)-f(y)|<=L|x-y|. daraus folgt gleichmäßig stetig.

Ich habe ja dann dort stehen: |(x+y)+2|<=L, dass bedeudet, es gibt eine Lipschitztkonstante, für die gilt: |(x+y)+2|<=L.

Ich weiß einfach nicht,wie ich hier weitermachen soll, einen Widerspruch kann ich nicht erkennen??

Da die s für alle x,y gelten soll, gibt es eine soche Konstante nicht, denn die reellen Zahlen sind unbeschränkt. Linke Seite kann also unendlich groß werden,,

dann kann L keine Konstante sein!

Die Definition haben wir von unserem Dozenten bekommen.

Also ist die Definition falsch?

Soll ich dann lieber den Schrankensatz nehmen.

Archimedes sagt ja, zu x,y Element von IQ gibt es n Element von IN, so dass

nx>y.

Nein die Definition stimmt. Entweder zu lala formuliert, oder nicht ganz richtig auf geschrieben.

L-Stetig:

"Es gibt eine Konstante L mit ..."

Wenn es keine gibt, wie bei unser Funktion, weil der Term unbeschränkt, dann nicht L-Stetig.

Gegenbeispiel:

g(x)=2x

=> L=2

denn

${\displaystyle \left|\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right|\le \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}$

${\displaystyle \frac{|2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}{|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}\le \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{2|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}{|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|}\le \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ } \end{gathered}$$

${\displaystyle 2\le \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

L=2 ist Lipschitz-Konstante!

Ich habe gedacht, dass ich in meinem Beispiel "L" noch durch eine konkrete Zahl ausdrücken könnte.

Bei mir ist L aber ebend |x+y+2| mit x,y Element von IR.

Was mache ich dann dann in der Klausur?

Schreibe ich jetzt: |x+y+2|<=L, damit gibt es eine Lipschitzkonstante und damit ist die Funktion gleichmäßig stetig??????

Ich kann das nicht nachvollziehen, da ich in Mathe noch nie so viele Lücken hatte, wie im Moment.

Ich weiß, dass Stetigkeit in der Klausur drankommt und ich will einfach nur irgendwie die Stetigkeitsaufgaben lösen, dass ich meine 50% bekomme und in den "Ferien" kann ich dann die rießigen Lücken füllen.

Und gerade die Vollständigkeit von IR mit ihren ganzen Beweisen, waren das Härteste dieses Semester, und das Ganze habe ich nicht wirklich nachvollziehbar verstanden.

Deshalb kann ich das Archimedes Axiom hier auch nicht wirklich anwenden.

Ich kann also aufgrund von Wissenlücken nicht nachvollziehen, warum ich keine Lipschitzkonstante habe. Sorry ist leider so.

Da kann ich Dir nur zustimmen, konnte das, das Du geschrieben hast auch nachvollziehen.

Dann hoffe ich mal, dass ich ein ähnliches Beispiel in der Klausur habe, und wenn ich die bestehe, dann habt Ihr da einen Anteil dran, mir quasi das Semester geretet.

Jetzt erst mal einkaufen, nachher schaue ich mir das noch mal an.

Dann vielen vielen DANK!!!!!

Nicht aufgeben, Du hast doch alles richtig gerechnet. So macht m,an das auch. Du interpretierst nur falsch.

Als 1. vergiß mal den alten Griechen (Archimedes verzeih mir!)

wenn Du so weit umgeformt hast, das L rechts alleine steht, guckst Du Dir die linke Seite an:

z.B. x+y+2 ist unbeschränkt, als gibt es kein L

z.B. 2 ist konstant also beschränkt, also L=2