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Lipschitz-Stetigkeit zweier Funktionen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Lipschitzstetigkeit, Stetigkeit

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23:06 Uhr, 08.01.2016

Hallo,

habe eine Frage zu einer Aufgabe zur Lipschitz-Stetigkeit zweier Funktionen. Habe zwar einen Ansatz, habe aber keine Ahnung, ob der als Lösung bereits ausreicht oder etwas knapp ist :-)

Die Aufgabe lautet:

Seien

f, g : ℝ \to ℝ

zwei Lipschitz-stetige Funktionen. Welche der folgenden Funktionen sind wieder Lipschitz-stetig?

a) f + g

b) f \cdot g

c) f \circ g

d) max {f, g}

Bin mir zunächst nicht sicher, ob die in der Definition der Lipschitz-Stetigkeit geforderten

x -

und y-Werte bei beiden Funktionen identisch sein sollen, also jeweils derselbe Punkt betrachtet werden soll? Dann würde gelten:

| f (y) - f (x) | \leq c | y - x |

und

| g (y) - g (x) | \leq d | y - x |

Die besten Lipschitz-Konstanten würden sich also ergeben aus

c =

supremum

((| \frac{f (y - f (x) |)}{| y - x |}) < + \infty

und analog für

g

.

bei

f + g

wäre die beste Lipschitz-Konstante also durch

(c + d),

bei

f \cdot g

durch

(c \cdot d)

gegeben. Da sowohl

c

als auch

d

als

< + \infty

vorausgesetzt werden, ist auch ihre Summe oder ihr Produkt endlich. Reicht das bereits als Begründung?

Beim Maximum der beiden Funktionen sieht es ähnlich aus: Müsste hier nicht auch einfach nur die Lipschitz-Konstante, die beim Maximalwert der Funktionen gilt, gelten, sodass hier also je nachdem

c | y - x |

oder

d | y - x |

gilt?

Ehe ich da nicht ganz sicher bin, wurschtel ich an der Komposition gar nicht erst rum :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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23:38 Uhr, 08.01.2016

Ganz so leicht geht es nicht. Du musst eben die Definition der Lipschitz-Stetigkeit nachrechnen. Also bei der

a)

ist zum Beispiel zu zeigen, dass es ein

L > 0

gibt, sodass

| (f + g) (y) - (f + g) (x) | \leq L \cdot | y - x |

für alle

x, y \in ℝ

. Dies kann man sich so überlegen. Für

x, y \in ℝ

gilt:

| (f + g) (y) - (f + g) (x) | = | f (y) + g (y) - f (x) - g (x) | = | f (y) - f (x) + g (y) - g (x) |

\leq | f (y) - f (x) | + | g (y) - g (x) | \leq c | y - x | + d | y - x | = (c + d) | y - x |

.
Das was du geraten hast stimmt, aber du siehst, dass man es schon erst nachrechnen muss. Bei

f \cdot g

musst du dir nun mehr Gedanken machen. Probier es mal. Tipp: Gegenbeispiel!

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00:12 Uhr, 09.01.2016

Ahh, die gute alte Dreiecksungleichung :-D)

Habe jetzt ein bisschen mit dem Produkt rumprobiert, komme aber noch nicht so recht auf einen grünen Zweig. Mein Ansatz war jetzt erstmal, ebenfalls

f (y) - f (x)

und

g (y) - g (x)

zu separieren. Das habe ich so gemacht:

z . Z . : \exists L > 0, s . d . : | (f \cdot g) (y) - (f \cdot g) (x) | \leq L \cdot | y - x | \forall x, y, \in ℝ

| (f \cdot g) (y) - (f \cdot g) (x) | = | f (y) \cdot g (y) - f (x) \cdot g (x) |

= | (f (y) \cdot g (y) - f (x) \cdot g (y) + f (x) \cdot g (y) - f (x) \cdot g (x) |

= | g (y) (f (y) - f (x)) + f (x) (g (y) - g (x)) | \leq | g (y) (f (y) - f (x)) | + | f (x) (g (y) - g (x)) |

Das sieht ja schonmal besser aus, aber was mache ich jetzt mit den übriggebliebenen Termen vor dem Rest? :-D)

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00:18 Uhr, 09.01.2016

Gute Idee! Aber wie schon gesagt ist die Aussage für das Produkt falsch. Also suche lieber ein Gegenbeispiel ;-)

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00:41 Uhr, 09.01.2016

Oh ja, hatte ich überlesen irgendwie :-)

Komme trotzdem auf kein Gegenbeispiel :-D)

Könnte ja zum Schluss noch die beiden "übrigen" Funktionen in eine separate Betragsklammer setzen:

| g (y) | \cdot | f (y) - f (x) | + | f (x) | \cdot | g (y) - g (x) |

\leq | g (y) | \cdot | y - x | \cdot c + | f (x) | \cdot | y - x | \cdot d

Also muss ja hier jeweils

| g (y) |

bzw.

| f (x) | < + \infty

gelten. Kann ich hier vielleicht den Gegenbeweis zeigen? Wenn eine der beiden Funktionen nicht beschränkt ist, so wäre es

+ \infty

und die Funktion somit nicht mehr lipschitz-stetig.

Huch, ein Gegenbeispiel :-D)

Hoffentlich auch ein passendes :-D)

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00:46 Uhr, 09.01.2016

Fordert man zusätzlich, dass

f

und

g

beschänkt sind, so folgt die Lipschitz-Stetigkeit des Produkts aus deiner Ungleichung. Du solltest also an unbeschränkte Funktionen denken. Kennst du denn überhaupt eine Funktion von

ℝ

nach

ℝ,

die nicht lipschitzstetig ist? Falls ja, lässt sie sich in ein Produkt aus zwei lipschitzstetigen Funktionen zerlegen?

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00:51 Uhr, 09.01.2016

Sollte das nicht für

x^{2}

der Fall sein?

Im Skript haben wir einen Beweis für den komplexen Fall mit

z^{2},

ich sehe aber nicht, warum es da bei

x^{2}

einen Unterschied geben sollte, da man den Beweis genauso führen könnte. Zudem steht auch dabei, dass jeden beschränkte Menge DOCH lipschitz-Stetig ist

\land

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00:52 Uhr, 09.01.2016

x^{2}

ist gut. Und kannst du das in ein Produkt zweier lipschitzstetiger Funktionen zerlegen?

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00:55 Uhr, 09.01.2016

Na in

x \cdot x

- d . h

. im Fall

f = g

gilt die lipschitzstetigkeit nicht?

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00:58 Uhr, 09.01.2016

Wenn

f = g = 1

ist schon, also allgemein kannst du das so nicht sagen. Aber

f (x) = g (x) = x (x \in ℝ)

ist ein Gegenbeispiel und damit hast du die

b)

widerlegt. Bei der

c)

klappt die Rechnung wieder.

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01:00 Uhr, 09.01.2016

Danke :-)

Den Rest schaue ich mir morgen nochmal genauer an, gute Nacht :-)

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13:36 Uhr, 09.01.2016

Hallo,

habe mich jetzt mal an der

c

versucht:

f \circ g

Es sollte also zu zeigen sein, dass

\exists L > 0, s . d

| f (g (y)) - f (g (x)) | \leq L | y - x |

Inwieweit kann ich das denn weiter umformen? Ich wüsste jetzt keine Operation, wie ich die beiden Funktionen im Betrag wieder trennen kann.

Rein logisch würde ich sagen:

g

gibt der Funktion irgendeinen Wert

x, y \in ℝ

an. Da wir bei der ursprünglichen Funktion

f

aber ebenfalls davon ausgehen, dass wir beliebige

x, y \in ℝ

einsetzen können, können wir die Funktion eigentlich so behandeln, als wenn es sich ohnehin um die Funktion

f

handeln würde.

Aber wie kann ich das formal zeigen?

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13:40 Uhr, 09.01.2016

Deine Idee ist gut.

| f (s) - f (t) | \leq c | s - t |

gilt ja für alle

s, t \in ℝ

. Sind nun

x, y \in ℝ

beliebig, so verbietet dir niemand

s = g (y)

und

t = g (x)

zu setzen.

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13:57 Uhr, 09.01.2016

Also schreib ich nach der Voraussetzung einfach: "Sei

g (x) = s, g (y) = t \in ℝ

", schreibe die Definition hin und das war's dann schon? Das geht ja noch :-D)

Fehlt mir bloß noch das Maximum der Funktionen - geht es hier vielleicht wieder mit einem Gegenbeispiel? Ich versuche es mir gerade so vorzustellen, dass ich 2 Graphen in ein Koordinatensystem zeichne und jeweils der "oben" liegende Wert relevant ist. Also quasi durch die "oberhalb" liegenden Werte ein neuer Graph zustande kommt.

Im Grunde übergeben die Graphen ja immer "fließend" an den nächsten, aber ich könnte mir vorstellen, dass, falls ein Graph sehr flach und ein anderer sehr steil ist, eventuell Probleme auftreten können?

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14:00 Uhr, 09.01.2016

Du bist bei

c)

noch nicht fertig. Mach dir das klar. Schreib ganz genau auf was du bisher hast und wo du hin musst.

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14:18 Uhr, 09.01.2016

Also ich habe bisher:

f \circ g

lipschitz-stetig?

z . Z . : \exists L > 0, s . d . | f (g (y)) - f (g (x)) | \leq L | g (y) - g (x) | \forall x, y, \in ℝ

Die Funktion

f

verarbeitet die Funktionswerte von

g,

daher überlegen wir uns, welche Werte von

g

zurückgegeben werden:

Laut Definition gilt:

g : ℝ \to ℝ

\Rightarrow \forall x, y \in ℝ : g (x), g (y) \in ℝ

Seien

s := g (y), t := g (x) \in ℝ

So gilt:

| f (g (y)) - f (g (x)) | \leq L | g (y) - g (x) | \forall x, y \in ℝ

\Leftrightarrow | f (s) - f (t) | \leq c | s - t | \forall s, t \in ℝ

\Rightarrow L = c

\Rightarrow f \circ g

ist lipschitz-stetig mit bester Lipschitzkonstante

c

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14:21 Uhr, 09.01.2016

Ok, bisher hast du also

| f (g (y)) - f (g (x)) | \leq c | g (y) - g (x) |

für alle

x, y \in ℝ

. Du willst aber ein

L > 0

finden mit

| f (g (y)) - f (g (x)) | \leq L | y - x |

. Du musst also noch weiter abschätzen.

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14:30 Uhr, 09.01.2016

Ah, stimmt.

g

ist ja lip.-stetig, also habe ich

| g (y) - g (x) | \leq d | y - x |

Also:

c | g (y) - g (x) | \leq c \cdot d | y - x |

Also muss

L = c \cdot d

sein?

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14:32 Uhr, 09.01.2016

Ja, so geht es.

max {f, g}

ist etwas komplizierter. Tipp: Geht es um das Maximum, so hilft oft die Tatsache, dass

max {f, g} = \frac{f + g + | f - g |}{2}

ist.

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14:54 Uhr, 09.01.2016

Oh, das ist in der

gut zu wissen, wobei ich nicht weiß, ob wir das schonmal in der Vorlesung hatten.

Aber so hätte ich zu zeigen:

\exists L > 0, s . d

| \frac{f (y) + g (y) + | f (y) - g (y) |}{2} - \frac{f (x) + g (x) + | f (x) - g (x) |}{2} \leq L | y - x |

l

.Seite

= | \frac{f (y) - f (x) + g (y) - g (x) + | f (y) - g (y) | + | (f (x) - g (x) |)}{2}

Da sieht das links ja schonmal ganz gut aus. mit Dreiecksungleichung folgt:

\frac{| f (y) - f (x) + g (y) - g (x) |}{2} + \frac{| | f (y) - g (y) | + | f (x) - g (x) | |}{2}

Jetzt stört der Term auf der rechten Seite aber dann doch irgendwie :-)

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15:00 Uhr, 09.01.2016

max {x, y} = \frac{x + y + | x - y |}{2}

für

x, y \in ℝ

zu zeigen ist trivial. Ist

x \geq y,

so folgt

| x - y | = x - y,

also

\frac{x + y + | x - y |}{2} = \frac{x + y + x - y}{2} = \frac{2 x}{2} = x

. Analog zeigst du

\frac{x + y + | x - y |}{2} = y

für

x < y

.

Nun zu deiner Rechnung: Die Vorzeichen passen nicht alle ganz. Wenn du das korrigierst, hilft dir für den rechten Ausdruck die umgekehrte Dreiecksungleichung.

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15:11 Uhr, 09.01.2016

Oh stimmt, hinten kommt noch ein Minus dran. Kann ich dann im nächsten Schritt beide Ungleichungen gleichzeitig anwenden? Also quasi daraus machen:

\leq \frac{| f (y) - f (x) |}{2} + \frac{| g (y) - g (x) |}{2} + \frac{| f (y) - g (y) |}{2} - \frac{| f (x) - g (x) |}{2}

?

Das wäre dann aber

\leq c \frac{| y - x |}{2} + d \frac{| y - x |}{2} \frac{| f (y) - g (y) |}{2} - \frac{| f (x) - g (x) |}{2}

Die scheint wirklich etwas verwirrender zu sein :-)

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15:13 Uhr, 09.01.2016

Du hast rechts nicht die umgekehrte Dreiecksungleichung angewandt.

| | a | - | b | | \leq | a - b |

für alle

a, b \in ℝ

meine ich.

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15:23 Uhr, 09.01.2016

oh, wir hatten die etwas anders aufgeschrieben.

Also steht dann rechts

\frac{| f (y) - f (x) + g (x) - g (y) |}{2}

zusammengerechnet:

\leq | f (y) - f (x) | + \frac{| g (y) - g (x) |}{2} + \frac{| g (x) - g (y) |}{2}

Da hätte ich jetzt gerne die Betragsstriche weg :-D) Obwohl sich der Betrag ja prinzipiell gar nicht ändert, kann ich das dann im prinzip auch auf

| g (y) - g (x) |

vereinfachen? Und dann läge mir ja quasi wieder die normale Addition der Funktionen vor.

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15:25 Uhr, 09.01.2016

Klar,

| a - b | = | b - a |

gilt für alle

a, b \in ℝ

. Also es bleibt dann nur

| f (y) - f (x) | + | g (y) - g (x) |

übrig.

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15:28 Uhr, 09.01.2016

Vielen Dank für die Hilfe :-)

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15:33 Uhr, 09.01.2016

Keine Ursache. Bei der besten Lipschitzkonstanten musst du bei

d)

allerdings aufpassen. Nimmst du

f (x) = g (x) = x (x \in ℝ)

so haben

f

und

g

die 1 als beste Lipschitzkonstante. Es gilt auch

max {f (x), g (x)} = x (x \in ℝ),

also hat auch

max {f, g}

als beste Lipschitzkonstante die 1. Unsere Rechnung hätte ja

1 + 1 = 2

vermuten lassen, aber da wurde halt einfach zu grob abgeschätzt. Ganz allgemein sollte sich

max {c, d}

als beste Lipschitzkonstante ergeben. Aber das war ja eh nicht Teil der Aufgabe.

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