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Lipschitz-stetig Vektorfelder

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Stetigkeit

Tags: Lipschitz-stetig, stetig, Stetigkeit, Vektorfeld

Mawell77 aktiv_icon

18:52 Uhr, 17.01.2019

Guten Abend liebe Community,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Welche der folgenden Vektorfelder sind auf dem angegebenen Definitionsbereich lokal Lipschitz.stetig bzgl. x?

a) f (t, x) = t^{2} x^{2}, (t, x)

Element von

(- 2,2) x R

b) g (t, x) = \frac{e^{t \cdot x}}{t}, (t, x)

Element von

(0,1) x (- 2,2)

c) h (t, x) = A (t) x + b (t), (t, x)

Element von

R x R^{n}

Hierbei bezcihnet

A (t)

eine nxn-Matrix, deren Koeffizienten stetig von

t

abhängen und

b

ist eine

R^{n}

-wertige stetige Funktion.

Ich scheitere schon am Ansatz. Ich denke man muss mit der Lipschitz-Definition arbeiten, habe aber leider keine Idee wie ich die richtig ins Spiel bringe, da ich schon immer Probleme mit der Lipschitz-Stetigkeit hatte. Wenn ich eine Problemstelle wüsste, sollte es einfach sein zu zeigen, dass sie es nicht ist, wenn es denn so ist. Wenn Lipschitz-Stetigkeit schiefgeht, dann meistens entweder indem man zwei sehr weit auseinanderliegende Punkte oder zwei sehr nahe beieinanderliegende Punkte betrachtet. Bei differenzierbaren Funktionen mit beschränkter Ableitung kann man den Mittelwertsatz gewinnbringend verwenden. Aber wie ich das alles anwenden soll, weiß ich absolut nicht.

Grüße

Stefanboltzmann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

21:19 Uhr, 17.01.2019

Hallo,

hast Du auch bemerkt, dass es nur um die L-Stetigkeit bezüglich

x

geht? Schreib doch einfach mal

f (t, x) - f (t, y)

hin. Welche einfach Idee bietet sich an, wenn es um eine Abschätzung durch

| x - y |

geht?

Denk auch daran, dass es um lokal-L-stetig geht.

Gruß pwm

Mawell77 aktiv_icon

22:04 Uhr, 17.01.2019

Stimmt, die y-Komponente kann man gleich lassen.

Ich weiß leider nicht worauf du hinaus möchtest. Eventuell was mit der Dreiecksungleichung? Oder auf eine Abschätzung mit Betrag(x-y)<

δ

wobei

δ > 0

pwmeyer aktiv_icon

11:15 Uhr, 18.01.2019

Hallo,

warum schreibst du nicht mal

f (t, x) - f (t, y)

hin, damit wir sicher sind, über das Gleich zu reden.

Gruß pwm

Mawell77 aktiv_icon

16:51 Uhr, 18.01.2019

Hallo pwmeyer.

Also im Beispiel von

a)

hätte man ja dann sowas für die ,,normale'' Lipschitz-Definition:

| (t^{2} x^{2} - t^{2} y^{2}) | \leq L | x - y |

für

(t, x), (t, y) \in (- 2,2) x ℝ

meinst du das?

pwmeyer aktiv_icon

17:02 Uhr, 18.01.2019

Ja, und wie kommt man jetzt an

L,

wenn man

x^{2} - y^{2}

sieht und auf der anderen Seite

x - y

GRuß pwm

Mawell77 aktiv_icon

17:06 Uhr, 18.01.2019

x - y

auf die andere Seite holen?
Irgendwie stehe ich gerade voll auf dem Schlauch und stelle mich sehr doof an.

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 18.01.2019

| t^{2} \cdot (x^{2} - y^{2}) | = t^{2} \cdot | (x + y) \cdot (x - y) | = t^{2} \cdot | x + y | \cdot | y - x |

Um jetzt abzuschätzen beachtet man:

t \in (- 2,2),

also

t^{2} \leq 4

. Um

| x + y |

abzuschätzen, beachtet man, dass es um lokale-l-Stetigkeit geht, also irgendwie

x, y \in [a - ε, a + ε],

also

| x |, | y | \leq | a | + ε

Zusammen geht also

L = 4 \cdot 2 \cdot (| a | + ε)

Im allgemeinen gehts nicht so wie hier mit der binomischen Formel, dann benutzt man den Mittelwertsatz, um

L

zu bestimmen.

Gruß pwm

Mawell77 aktiv_icon

17:32 Uhr, 18.01.2019

Erstmal vielen Dank, das war ziemlich aufschlussreich. Jetzt verstehe ich wie man die Abschätzung für den lokale machen muss.
Also ist

a)

lokal Lipschitz stetig?

b)

kann man dann wahrscheinlich mit dem Mittelwertsatz lösen oder? Das sollte ich hinbekommen.
Bei

e)

blicke ich jedoch immer noch nicht durch wie das mit der Matrix gehen soll.

pwmeyer aktiv_icon

18:05 Uhr, 18.01.2019

Hallo,

auch hier gilt: Schreib doch erstmal auf, was wir abschätzen müssen.

Dann stellt sich die Frage: Ist für

ℝ^{n}

eine Norm festgelegt. Ist allgemein der Begriff "Matrixnorm" bekannt?

Gruß pwm

Mawell77 aktiv_icon

18:48 Uhr, 18.01.2019

Ok. Also bei

b)

würde ich jetzt folgendermaßen vorgehen:

| g (t, x) - g (t, y) | = | \frac{e^{t \cdot x}}{t} - \frac{e^{t \cdot y}}{t} | = | \frac{1}{t} (e^{t \cdot x} - e^{t \cdot y}) | \leq L \cdot | x - y |

Leider sehe ich keine weitere Vereinfachung, die möglich ist, also gilt weiter:

\frac{| \frac{1}{t} \cdot (e^{t \cdot x} - e^{t \cdot y}) |}{| x - y |} \leq L

Die Linke Seite entspricht dem Mittelwert Satz

t \in (0,1)

also immer

t > 0

aber irgendwie weiß ich jetzt wie immer nicht weiter.
Eventuell zeigen dass die Funktion beschränkt ist also über dem Mittelwertsatz?

Ich habe den Begriff Matrixnorm schon gehört, musste ihn bisher aber nie verwenden, also eher nein.

Ich habe noch eine Frage zu deiner Rechnung zu

a) :

Du hast

t^{2}

mit

t^{2} \leq 4

abgeschätzt. Müsste es nicht

t^{2} < 4

heißen, da

(- 2,2)

ein offenes Intervall ist also

- 2

und 2 nicht enthalten sind oder stehen die Klammern nicht für ein offenes Intervall?

Mawell77 aktiv_icon

22:15 Uhr, 18.01.2019

Noch einer da, der mir helfen kann?

pwmeyer aktiv_icon

17:15 Uhr, 19.01.2019

Hallo,

wenn

t^{2} < 4,

dann gilt auch

t^{2} \leq 4

. Für die Bestimmung von

L

ist das egal.

Zur

b)

Was sagt der Mittelwertsatz, angewandt auf die Funktion

h (x) := e^{t \cdot x}

?

Zu

c)

Warum schreibst Du nicht mal hin, was abzuschätzen ist, damit man darüber reden kann?

Gruß pwm

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