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Lokal konstante Funktion
Sonstiges
Tags: Funktion
 
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Hallo! Ich hänge gerade an einen Beweis und bräuchte bitte Hilfe. Die Aufgabenstellung lautet: Sei X ein metrischer Raum, dann sind äquivalent: 1. Jede lokal-konstante Funktion ist konstant 2. Für jede nichtleere, offene und abgeschlossene Teilmenge A von X gilt A=X Laut Lehrbuch gilt: Von 1. nach 2. Da A, XA offen ist die charakteristische Funktion für x aus A und für x aus X ohne A lok. kon. also auch konstant. Bis hierhin ist mir alles klar. Nun kommt die Stelle die mir allerdings unklar ist: Da wegen Aleere Menge den Wert 1 wirklich annimmt, folgt für x aus X. Mit einem indirekten Beweis kam ich nicht weiter. Ich hoffe das mir jemand helfen kann. Viele liebe Grüße sendet Uwe |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Sei nichtleere offene und abgeschlossene Teilmenge. Dann ist lokal konstant, weil xhi^-1}(y) offen ist (sowohl für als auch für ). Wegen 1 ist konstant. A ist nicht leer, enhält also mindestens einen Punkt . Es gilt nach Definition von . Da konstant ist, gilt für alle . Folglich ist . |
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Hallo Hagman! Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich hätte allerdings noch eine Frage. Sie schreiben das es einen Punkt a aus A gibt (klar, da A ungleich der leeren Menge) χ(a)=1 nach Definition von χ. Auch klar. Dann schreiben sie Da χ konstant ist, gilt χ(x)=1 für alle x∈X. Folglich X=A. Hier hapert es bei mir. χ kann doch nach Definition die Werte 1 und 0 annehmen. Warum soll dann χ(x)=1 für alle x∈X gelten? Wenn Sie Zeit hätten könnten sie mir bitte einen Widerspruchsbeweis geben (An. XA ....... Widerspruch). Daran bin ich leider gescheitert. Ich hoffe das ich nicht zuviel von Ihnen verlange. Ich hänge da zur Zeit wirklich. Viele liebe Grüße sendet Ihnen Uwe
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Definition: Eine Funktion heisst konstant, wenn für alle stets gilt. In unserem Fall folgt also insbesondere für alle . Es gibt keinen Grund, auf einen indrirekten Beweis zurückzufallen. |
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Hallo Hagman! Vielen Dank für die Antwort. Die Definition kenne ich natürlich. Ich glaube ich komme an folgender Stelle nicht weiter: Warum soll auch den Wert 1 außerhalb von A annehmen? Nach Definition ist dort doch 0. Es muß wohl mit der Definition der "Konstanten Funktion" zusammenhängen oder? Vielen Dank noch einmal für die Mühe die Sie sich für mich machen. Liebe Grüße sendet Ihnen Uwe P.S.: Sie schreiben zwar ein Widerspruchsbeweis wäre nicht vonnöten, würde mir aber mit Sicherheit für das Verständnis helfen. Denn damit muß es ja eigentlich auch funktionieren. |
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nimmt außerhalb A nicht den Wert 1 an, das wird auch nicht behauptet. ist lokal konstant. Wir dürfen Aussage 1 anwenden, also ist konstant Also hat überall in denselben Wert (konstant!), den es auch an der Stelle hat, nämlich 1. Also gilt für jedes . (Hier wird nicht behauptet, dass für irgendein außerhalb von A gilt!). Also ist denn genau dann, wenn . Wenn es denn unbedingt indirekt sein soll: Sei A offen und abgeschlossen und nicht leer und es gelte BEdingung 1. Annahme: . Dann gibt es (weil ) und (weil ). Wegen und ist nicht konstant, denn wäre konstant, so müsste insbesondere gelten. Wegen Bedingung 1. ist dann noch nicht einmal lokal konstant, denn wäre lokal konstant, müsste es laut 1. ja auch konstant sein. Da aber sowohl A als auch offen sind, ist auf jeden Fall lokal konstant Widerspruch! Folglich war unsere Annahme falsch. Folglich gilt stattdessen . |
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Hallo Hagman! Vielen Dank für Ihre Antwort. Jetzt habe ich es endlich verstanden. Besonderen Dank für den Widerspuchsbeweis. Ich habe eingesehen das es auch ohne geht (dank Ihnen) aber er hat mir doch sehr weitergeholfen. Mir ging es hauptsächlich um die Beweisstruktur. Nochmals vielen Dank für die Zeit die Sie für mich genommen haben. Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend. Viele liebe Grüße sendet Ihnen Waluigi |
