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Lokale und globale Extrema

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Globale Extrema, Lokale Extrema

SchokoJulia aktiv_icon

22:18 Uhr, 03.06.2008

Hallo,
ich soll die "globalen und lokalen Extrema" einer Funktion berechnen..
Ich weiß,wie man Extrema allgemein berechnet..
aber leider kenne ich den Unterschied zwischen den beiden Extrema nicht und somit verstehe ich nicht direkt wonach ich suchen/worauf ich achten soll..

kann mir einer eine geeignet Definition geben..und bestenfalls ein Beispiel?
im Internet habe ich leider nichts so richtig befriedigendes gefunden..

ich danke schon einaml im Vorraus für eure Mühen!!!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

BjBot aktiv_icon

22:33 Uhr, 03.06.2008

Hi

Durch die hinreichende Bedingung für Extrempunkte berechnest du immer nur relative, also lokale Extrempunkte, welche zwar in einer bestimmten Umgebung (lokal) einen Hoch- oder Tiefpunkt darstellen, was aber keinesweg heisst, dass auf einem bestimmtem Intervall einer Funktion auch wirklich an dieser Stelle der kleinste bzw größte y-Wert vorliegt. Ist also nach einem globalen Maximum oder Minimum in einem bestimmten Intervall einer Funktion gefragt, dann muss man neben den Extrempunkten auch noch die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls untersuchen.
Als Beispiel schau dir mal den folgenden Graphen im Intervall von -2,25 bis 2,25 an.
Hier erkennt man, dass zwar in (0|3) ein lokaler Hochpunkt vorliegt, aber das globale Maximum nicht 3 ist, sondern sich an den Rändern des Intervall befindet.

Ich hoffe das hilft dir etwas weiter.

Gruß Björn

SchokoJulia aktiv_icon

17:24 Uhr, 05.06.2008

Hallo Björn!

Ich habe verstanden,was du meinst,leider aber noch nicht wie ich rausfinden kann,ob es ein globales Extrema ist..
denn leider habe ich kein Intervall gegeben..
Soll ich mir dann einfach Werte ausdenken?und dann gucken,ob der y-wert größer ist als der des Extremas?

Grüße;-

SchokoJulia aktiv_icon

18:31 Uhr, 05.06.2008

. .

BjBot aktiv_icon

20:26 Uhr, 05.06.2008

Hi

Poste doch am Besten mal ein Beispiel, so allgemein dazu was zu schreiben ist immer schwer bzw nicht so anschaulich. Es muss auch nicht immer ein Intervall gegeben sein, möglich wäre es auch, dass sich der Graph der Funktion für x gegen plus oder minus unendlich einem bestimmten (Grenz)wert nähert und man diesen Grenzwert mit den relativen Extrema vergleicht. Aber wie gesagt gib lieber ein Beispiel, über welches wir diskutieren können.

Gruß Björn

SchokoJulia aktiv_icon

20:57 Uhr, 05.06.2008

okay..
du hast Recht..
also hier mein Beispiel:

f (x) =

x*(1-lnx)

x

Element von IR+

hab die Ableitungen gebildet :

f' (x) =

-lnx

f'' (x) = - \frac{1}{x}

mein Extrema befindet sich dementsprechend : Hochpunkt

(1, 1)

deiner Definition zu folge ist dies ein lokaler(also relativer) Hochpunkt (?)

was muss ich jetzt machen,wenn die Aufgabe lautet : Prüfe auf relative Extrema und gebe die Art der Lage an..???
muss ich einen positiven Grenzwert einsetezn?Wenn ja welchen??

BjBot aktiv_icon

21:16 Uhr, 05.06.2008

Hmm..das ist ja gar keine Aufgabe zu globalen Extremwerten...
Was mit "der Art der Lage" gemeint ist kann ich bei bestem Willen nicht sagen...das ist auch eine derart allgemein Frage, dass man da sehr viel interpretieren kann.
Am Punkt selbst sieht man ja wo der Extrempunkt liegt, du hast den Extrempunkt ja auch schon als relativen Hochpunkt klassifiziert...was jetzt noch zu tun ist...keine Ahnung.
Durch die Tatsache, dass genau ein Extrempunkt vorliegt, und dies ein Hochpunkt ist, muss dies auch gleichzeitig ein globales Maximum sein, denn der Graph kann ja ohne weitere Extrempunkte nicht mehr höher verlaufen als der Hochpunkt.

Gruß Björn

caesarea92 aktiv_icon

16:18 Uhr, 10.12.2016

hallo,

ich möchte die extrema der fkt

f :

[

0,2pi]

\to R, x \to sin (x)

bestimmen.
f´(x)=cos(x)
wenn

x = 0,

ist

cos (0) = 1

und f´´(x)=-sin(x)
bei

x = 0,

ist ein globales Min?
bei x=2pi muss ein negativer wert rauskommen

da hier ein geschlossenes system vorliegt, kann ich nicht den limes anwenden. was muss ich als nächstes machen?

Vielen Dank im Voraus!

caesarea92 aktiv_icon

16:18 Uhr, 10.12.2016

hallo,

ich möchte die extrema der fkt

f :

[

0,2pi]

\to R, x \to sin (x)

bestimmen.
f´(x)=cos(x)
wenn

x = 0,

ist

cos (0) = 1

und f´´(x)=-sin(x)
bei

x = 0,

anonymous

16:46 Uhr, 10.12.2016

Zitat: "Durch die Tatsache, dass genau ein Extrempunkt vorliegt, und dies ein Hochpunkt ist, muss dies auch gleichzeitig ein globales Maximum sein, denn der Graph kann ja ohne weitere Extrempunkte nicht mehr höher verlaufen als der Hochpunkt."

Da fehlt das Wort "stetig" - das ist nämlich nur bei stetigen Funktionen so.

Nochmal eben von vorne, ist eigentlich gar nicht so schwer:

lokale Extremstelle:
Höchster/Tiefster Punkt in einer gewissen Umgebung

globale EST:
Höchster/Tiefster Punkt der gesamten Funktion

Wie BjBot nun bereits gesagt hat, berechnest Du mit den normalen Kriterien nur Punkte, die in einer gewissen Umgebung maximal/minimal sind. Du musst also anschließend noch gucken, ob es sich sogar um globale Hoch-/Tiefpunkte handelt, ob es also sogar der höchste/tiefste Punkt der gesamten Funktion ist.

Die Entscheidung "globaler Hochpunkt" kann unterschiedlich hergeleitet werden:

1. Bsp:

f (x) = x^{2}

T (0 | 0)

T

ist globaler TP, da

x^{2}

stetig ist. Stetige Funktionen mit nur einem Tiefpunkt können (ohne weiteren Hochpunkt) nirgends tiefere Funktionswerte als im TP annehmen

2. Bsp:

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x

T (2 | 4)

H (1 | 5)

T

und

H

sind nur lokale ESTs, da

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

und

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty

oder

T

und

H

sind nur lokal, da

f

stetig.

3. Bsp:

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}

H (0 | \frac{1}{4})

f

nicht stetig ist, müssen wir die Grenzwerte an etwaigen Polstellen untersuchen, um global/lokal entscheiden zu können.

Hier ist wegen

l lim_{x \to - 2} f (x) = + \infty

der Hochpunkt nur lokal!

Nagut, ich hoffe das war hilfreich.

Sofern die zu untersuchende Funktion übrigens nur für ein bestimmtes Intervall gilt, müsstest Du die Randwerte hinzuziehen, etwa beim 2. Beispiel

f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x

mit

x \in [1; \infty)

Nun ist

T (2 | 4)

globaler TP, da

f (1) = 5 > 4 = y_{T}

oder bei

f (x) = sin (x)

mit

x \in [0; 2 \cdot π]

H (\frac{π}{2} | 1)

T (\frac{3 \cdot π}{2} | - 1)

f (0) = 0

f (2 \cdot π) = 0

\Rightarrow H

und

T

sind global!

caesarea92 aktiv_icon

17:14 Uhr, 10.12.2016

danke für die ausführliche Antwort. ich kenne die schritte für die Bestimmung der extrema, aber ich weiss nicht, wie ich mit sin und

cos

arbeiten soll.
setze ich die grenzen für

x

in f´(x), dann bekomme ich:

cos (0) = 1

cos(2pi)=0,99
also ist ungleich

0,

aber für ein lokalen extrema sollte doch f´(x)=0 gelten (notwendige Bedingung)

also muss es sich um ein globalen extrema handeln, richtig?

anonymous

17:58 Uhr, 10.12.2016

Die Extremstellen bestimmst Du eigentlich wie immer (also zB mit notwendiger und hinreichender Bedingung

(f' (x) = 0

und

f'' (x) \neq 0)

Ich glaube es ist bei

f (x) = sin (x)

am einfachsten, wenn ich eben vorrechne, also:

f (x) = sin (x)

mit

x \in [0; 2 \cdot π]

f' (x) = cos (x)

f'' (x) = - sin (x)

ESTs:

nB:

f' (x) = 0

\Rightarrow cos (x) = 0

\Rightarrow x = (2 k + 1) \cdot \frac{π}{2}

im Intervall also

x = \frac{π}{2} \lor x = 3 \cdot \frac{π}{2}

f' (x) = 0

und

f'' (x) \neq 0

f'' (\frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2}) = - 1 < 0 \Rightarrow H P b e i x = \frac{π}{2}

f'' (3 \cdot \frac{π}{2}) = - sin (3 \cdot \frac{π}{2}) = 1 > 0 \Rightarrow T P b e i x = 3 \cdot \frac{π}{2}

Also (lokale) ESTs bei

H (\frac{π}{2} | f (\frac{π}{2}) = 1)

und

T (3 \cdot \frac{π}{2} | f (3 \cdot \frac{π}{2}) = - 1)

ist

H

sogar globaler HP?

Da die Funktion eingeschränkt ist, kannes sein, dass an den Rändern höhere/niedrigere y-Werte erreicht werden (ohne, dass dort Extremstellen sind (die wir ja schon berechnet hätten!). Wir überprüfen das also, indem wir die y-Werte vergleichen:

f (0) = 0

f (2 \cdot π) = 0

\Rightarrow

y_{H} = 1

ist der höchste y-Wert überhaupt

\to

globaler HP

y_{T} = - 1

ist der niedrigste y-Wert überhaupt

\to

globaler TP

[

PS: Weil

f

im betrachteten Intervall stetig ist :-P)]

caesarea92 aktiv_icon

18:11 Uhr, 10.12.2016

wie sind sie auf

(2 k + 1) \cdot \frac{π}{2}

gekommen? und damit auf die x-werte

x = \frac{π}{2}

und

x = 3 \cdot (\frac{π}{2})

anonymous

18:21 Uhr, 10.12.2016

Da bin ich ehrlich gesagt gar nicht drauf gekommen, das wurde mir mal beigebracht ;-)

Im Ernst: Das musst Du für Sinus und Cosinus am besten auswendig wissen. Wie man das herleitet weiß ich spontan gar nicht..

Cosinus hat Nullstellen bei ungeraden Vielfachen von

\frac{π}{2}

\Rightarrow x = (2 k + 1) \cdot \frac{π}{2}

Sinus hat NSTs bei geraden Vielfachen von

\frac{π}{2}

(was dann Vielfache von

π

sind).

\Rightarrow x = 2 k \cdot \frac{π}{2} = k \cdot π

In Deinem Intervall liegen davon eben nur die genannten Vielfache..

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