Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Mächtigkeit von bijektiver Funktionenmenge

Mächtigkeit von bijektiver Funktionenmenge

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: bijektiv, Funktion, Mächtigkeit, Menge

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
seinettbitte7

seinettbitte7 aktiv_icon

18:22 Uhr, 26.05.2021

Antworten
Guten Abend meine sehr verehrten Damen und Herren :-),

ich arbeite an folgendem Problem:

Sei n € N größer/gleich 1
Seien M und N endliche Mengen mit |M|=k=|N|
Bestimmen Sie die Kardinalität bijektiver Abbildungen.
S:= [f:M→N :f ist bijektiv.]

Nun, wenn ich die Fragestellung richtig verstanden habe, soll ich herausfinden, wieviele bijektive Abbildungen es zwischen den beiden Mengen gibt.

Dabei muss man zwischen zwei Fällen unterscheiden vermute ich :k= endlich oder k= unendlich

Bisher komme ich zu dem Schluss, dass wenn k endlich ist, es genau eine bijektive Abbildung gibt. Da in beiden Mengen die selbe Anzahl an Elementen ist, kann es zu jedem x nur ein y geben und anders rum. Da bleibt dann kein Spielraum für weitere Abbildungen richtig ?

Bei k= unendlich, dachte ich zuerst an so eine Abbildung wie x → y:x⋅(-1)=y. Dann hätte ich ja zu jedem x raus bekommen y=-x. Das wäre dann auch bijektiv gewesen oder ?

Dann habe ich aber gemerkt, dass die Voraussetzung nur Zahlen größer/gleich 1 erlaubt. Somit fallen negative Zahlen raus.

Das ist der aktuelle Standpunkt. Da ich stark an meinen Matheskills zweifle, würde es mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob überhaupt die Art und Weise, wie ich denke richtig ist oder ob ich das Problem ganz falsch angehe. Ich freue mich über eure Unterstützung. Hoffe es ist Verständlich wie ich es aufgeschrieben habe.

Liebe Grüße und Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:25 Uhr, 26.05.2021

Antworten
"Seien M und N endliche Mengen mit |M|=k=|N|"

"Dabei muss man zwischen zwei Fällen unterscheiden vermute ich :k= endlich oder k= unendlich"

Wie kann denn k unendlich sein, wenn oben steht, dass es endlich ist? :-O
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:26 Uhr, 26.05.2021

Antworten
"Sei n € N größer/gleich 1"

Und welche Rolle spielt dieses n, das sonst nirgendwo auftaucht?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:28 Uhr, 26.05.2021

Antworten
"Bisher komme ich zu dem Schluss, dass wenn k endlich ist, es genau eine bijektive Abbildung gibt."

Dann habe ich eine Überraschung für dich. Wenn N=M={1,2}, dann gibt's 2 bijektive Abbildungen:
1→1,2→2
und
1→2,2→1.

Wenn N=M={1,2,3}, dann gibt'S schon 6.
Und generell k!, weil bijektive Abbildungen im wesentlichen Permutationen sind, da M und N aus gleich vielen Elementen bestehen.
seinettbitte7

seinettbitte7 aktiv_icon

15:21 Uhr, 27.05.2021

Antworten
Erstmal danke für deine Antwort :-)

Ja war wohl etwas schlampig, dass ich das mit dem "endlich" überflogen habe. Sollte in Zukunft aufmerksamer lesen. Gut, dann hatte ich ein falsches Bild von Abbildungen im Kopf, weil ich dachte, ich darf nicht einfach so ein Wert aus M einem Wert aus N zuweisen. Dachte dahinter muss immer eine mathematische Operation stehen wie z.b. x⋅2=y.

Aber dann ist das schon die Lösung oder? Also ich könnte die Beispiele mit k=2,M=N=[1,2] und k=3,M=N=[1,2,3] angeben und dann zu dem Schluss kommen, dass |S|=k! ist. Vielleicht noch allgemeiner halten indem ich statt 1,2,3 die Elemente n1,n2,n3 nehme. Richtig?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.05.2021

Antworten
Na, du musst es schon beweisen, denke ich.
Z.B. per Induktion bzgl. der Elementenanzahl.
seinettbitte7

seinettbitte7 aktiv_icon

17:18 Uhr, 27.05.2021

Antworten
Hmm...dann brauch ich leider noch etwas Hilfe.

Also wenn ich das per vollst. Induktions lösen möchte, wäre das ja wie folgt :

Sei x € M und y € N
Induktionsbehauptung :|S|=k!

Induktionsanfang:

k=1, dann M=[x1] und N=[y1], daraus folgt die Abbildung x1 → y1 und
k!=1=|S|. Das passt so weit.

Induktionsschritt:

k=n+1, dann M= [x1,...,xn+1] und N= [y1,...,yn+1]. Daraus folgen die
Abbildungen x1 → y1 bis xn+1 → yn+1 und deren Permutationen,
dadurch bekomme ich k!=n+1⋅n⋅...⋅1=|S|

Macht das Sinn ? Ich habe leider keine Vorstellung, wie es weiter gehen könnte. Muss ich bei k!=n+1⋅n⋅...⋅1=|S| irgendwelche umformungen vornehmen oder sowas? :(
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:33 Uhr, 27.05.2021

Antworten
Man kann bijektive Abbildungen zwischen M={x1,...,xn+1} und N={y1,...,yn+1} in n+1 disjunkte Mengen aufteilen:
1. Abbildungen f:M→N mit f(x1)=y1
2. Abbildungen f:M→N mit f(x1)=y2.
...
n+1. Abbildungen f:M→N mit f(x1)=yn+1.

Jetzt zählen wir wie viele Abbildungen liegen in jeder von diesen Mengen.
Z.B. betrachten exemplarisch die 2. Menge, also Abbildungen mit f(x1)=y2.
Da f bijektiv ist, ist es auch bijektiv zwischen {x2,...,xn+1} und {y1,y3,...,yn+1}, also zwischen den Mengen, die nach dem Rausschmiss von x1 bzw. y2 bleiben. Damit ist klar, das die Anzahl der Abbildungen in der 2. Menge gleich der Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen {x2,...,xn+1} und {y1,y3,...,yn+1} ist. Beide Mengen haben aber n Elemente und so nach der Induktionsvoraussetzung haben n! Abbildungen in der 2. Menge.
Dieses Argument funktioniert absolut identisch für jede Menge de Abbildungen von 1 bis n+1. Damit liegen in jeder genau n! Abbildungen und die Gesamtanzahl ist also (n+1)⋅n!=(n+1)!
Frage beantwortet
seinettbitte7

seinettbitte7 aktiv_icon

17:43 Uhr, 27.05.2021

Antworten
Ohh wow. Da hätte ich sehr lange gebraucht um drauf zu kommen, wenn überhaupt : aber ich habe verstanden, was du gemacht hast. Vielen Dank für deine Hilfe.