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Maximales Vol. Zylinder+Halbkugel

Universität / Fachhochschule

Graphentheorie

Tags: Graphentheorie, Halbkugel, volum, Zylinder

Melanie99 aktiv_icon

23:54 Uhr, 11.01.2023

Hey, hier eine Lösung (falls sie überhaupt richtig sein sollte):
Um das möglichst große Volumen des Kunstobjekts bei einer Oberfläche von

1 m^{2}

zu erhalten, müssen wir das Volumen des Zylinders und der Halbkugel berechnen und dann die Oberflächen dieser beiden Körper berechnen und sie gleich

1 m^{2}

setzen.
Das Volumen des Zylinders ist Vz = π

\cdot r^{2} \cdot h

und das Volumen der Halbkugel ist Vhk

= (\frac{2}{3}) \cdot

\cdot r^{3}

Die Oberfläche des Zylinders ist Az

= 2 \cdot

\cdot r \cdot h + 2 \cdot

\cdot r^{2}

und die Oberfläche der Halbkugel ist Ahk

= 3 \cdot

\cdot r^{2}

Daher ist die Gesamtoberfläche des Objekts

A =

+

Ahk

= 2 \cdot

\cdot r \cdot h + 5 \cdot

\cdot r^{2} = 1 m^{2}

Das Volumen des Objekts

V =

+

Vhk = π

\cdot r^{2} \cdot h + (\frac{2}{3}) \cdot

\cdot r^{3}

Daher können wir die erste Gleichung nach

r

auflösen und dann einsetzen in die Gleichung des Volumens, um die Höhe des Zylinders zu finden:

r = \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot

sqrt(1/π)

h =

(1/π

- 5 \cdot (r^{2}) \frac{)}{2 \cdot r}

Jetzt haben wir die Abmessungen des Kunstobjekts, die das größtmögliche Volumen bei einer Oberfläche von

1 m^{2}

ergeben:
Radius der Halbkugel

r = \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot

sqrt(1/π)
Höhe des Zylinders

h =

(1/π

- 5 \cdot (r^{2}) \frac{)}{2 \cdot r}

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Abmessungen absolut optimal sind und das maximale Volumen unter der gegebenen Bedingung bieten.

Frage:
wie genau verlaufen die Zwischenschritte um auf

r

und

h

zu kommen? Kann es nicht nachvollziehen wie man auf diese Ergebnisse kommt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe45

00:43 Uhr, 12.01.2023

Deine Oberflächenformel für das Objekt ist nicht richtig.

Die Oberfläche deines Objektes setzt sich zusammen aus Basiskreisfläche des Zylinders, Mantel des Zylinders und Oberfläche der Halbkugel ( ohne Kreisfläche )

O = r^{2} \cdot π + 2 \cdot r \cdot π \cdot h + 2 \cdot r^{2} \cdot π = 2 \cdot r \cdot π \cdot h + 3 \cdot r^{2} \cdot π

Es ist einfacher

h

durch

r

auszudrücken.

h = \frac{1 - 3 \cdot r^{2} \cdot π}{2 \cdot r \cdot π} = \frac{1}{2 \cdot r \cdot π} - \frac{3 \cdot r}{2}

( zur Kontrolle

: r = \frac{1}{\sqrt{5 \cdot π}})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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