Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Mehrdimensionale Umkehrfunktion berechnen

Mehrdimensionale Umkehrfunktion berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Jacobi Matrix, Mehrdimensional, Umkehrfunktion, Vektor

Nelio aktiv_icon

12:49 Uhr, 26.06.2017

Guten Tag, ich lerne gerade für eine Analysis Prüfung und brauche Hilfe bei einem alten Testbeispiel.

Bsp.:
Das Gleichungssystem

x^{2} + y^{3} = 2, x^{3} + y^{2} = 2

besitzt die Lösung

(x, y) = (1,1)

(i)

Entscheiden Sie (mit Begründung), ob man diese Tatsache auch so ausdrücken kann, mit einer geeignet definierten Funktion

F : (1,1) = F^{- 1} ((2,2))

wobei die Umkehrfunktion

F^{- 1}

in einer (hinreichend kleinen) Umgebung der Stelle

(2,2)

wohldefiniert ist.
(ii) falls

(i)

zutrifft: Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von

F^{- 1}

an der Stelle

(2,2)

.

Theorie:
Nun gibt es den Satz der lokalen Invertierbarkeit der besagt dass die Funktion

f

lokal invertierbar ist falls Umgebungen von

f (z)

existieren sodass

f

bijektiv ist.
Anders formuliert kann man sagen dass

f

invertierbar ist, falls

f

an der Stelle

z

stetig differenzierbar und die Jacobi-Matrix df/dx(z) regulär ist.
Für die Ableitung einer inversen Funktion gilt

D (f^{- 1}) = {(D f)}^{- 1}

Ansatz:
Ich kann nun

(u, v) = (x^{2} + y^{3}, x^{3} + y^{2})

ansetzen und die Jacobi-Matix berechnen. Falls deren Determinante definit also

J \neq 0

ist, ist sie auch regulär.

J (\begin{matrix} 2 x & 3 y^{2} \\ 3 x^{2} & 2 y \end{matrix})

Die Determinante ist dann:

4 x y - 9 x^{2} y^{2}

Da ich will dass meine Matrix regulär ist darf

4 x y - 9 x^{2} y^{2} = 0

nicht gelten, das ist der Fall für xy

\neq \frac{4}{9}

Da die Ableitungen von

u

und

v

stetig sind, sind die Anforderungen an Invertierbarkeit

(i)

erfüllt.
(ii) Damit ich jetzt die Jacobi-Matrix von

f^{- 1}

berechnen kann, kann ich

D (f^{- 1}) = {(D f)}^{- 1}

verwenden!?

Hier stecke ich nun. Die Inverse der normalen Jacobi-Matrix kann ich mir nicht ausrechnen. Außerdem weiß ich nicht wie ich mit dem Ergebnis

x = 1, y = 1

bzw

u = 2, v = 2

umgehen soll. Ich weiß auch nicht ob das, was ich mir bis jetzt überlegt habe, richtig ist. Eventuell könnte man noch mit der impliziten Differentiation herumspielen und dadurch auf die Ableitungen für die Jacobi kommen. Allerdings hat die implizite Diff. andere vorraussetzungen wie zum Beispiel

f (x_{0}, y_{0}) = 0

was ja hier nicht gegeben ist.. oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

13:08 Uhr, 26.06.2017

Hallo,

"Die Inverse der normalen Jacobi-Matrix kann ich mir nicht ausrechnen. Außerdem weiß ich nicht wie ich mit dem Ergebnis

x = 1, y = 1

bzw

u = 2, v = 2

umgehen soll. "

Du hast eventuell noch nicht ganz verinnerlicht, dass es nur um die Stelle

(x_{0}, y_{0}) = (1,1)

geht. So brauchst Du nur prüfen, ob

Df

(1,1) = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix})

invertierbar ist und dann hiervon die Inverse bestimmen.

Die von Dir zitierte Formel für die Ableitung einer inversen Funktion ist - nicht erschrecken - falsch. Falsch, weil die Argumente fehlen. Schlag die Formel nochmal genau nach.

Gruß pmw

Nelio aktiv_icon

13:22 Uhr, 26.06.2017

Bei der Formel hast du recht, das war nur die ungenaue Merkregel.
Die genaue sollte lauten:

(\frac{\partial f^{- 1} (y_{0})}{\partial y}) = {(\frac{\partial f (x_{0})}{\partial x})}^{- 1} = {(\frac{\partial f ({f -}^{1} (y_{0}))}{\partial x})}^{- 1}

Die Inverse von

J = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix})

lautet dann

J^{- 1} = \frac{1}{5} (\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 3 & - 2 \end{matrix})

War das alles? Ist das die engültige Lösung? Das kommt mir irgendwie recht wenig vor. Danke für deine Hilfe!

pwmeyer aktiv_icon

13:51 Uhr, 26.06.2017

Hallo,

"War das alles?"

Ja, zusammen mit der Aussage über die lokale Invertierbarkeit, falls Df in einem Punkt regulär ist.

Gruß pwm

Nelio aktiv_icon

13:58 Uhr, 26.06.2017

Vielen Dank, pwmeyer.
Da ich so gehängt bin bei der Aufgabe dachte ich es wäre komplizierter.
Aber wie so oft versteht man etwas falsch oder gar nicht und es geht nichts weiter.

1377892

1377879

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?