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Mehrdimensionales Newton-Verfahren

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Tags: Funktion, Mehrdimensional, Newton-Verfahren, Sonstiges

KleenEule aktiv_icon

16:30 Uhr, 26.05.2010

Leute es gibt wieder nen tolles Problem!
Es geht um das Newton-Verfahren bei einer

ℝ

²->

ℝ

² Funtkion:

f (x, y) =

(2xy

- 4,

x²-y²-3)
Führen Sie ausgehend von

(x 0; y 0) = (1, 1)

zwei Schritte des Newtonverfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle von

f

durch.

Also ich weiß wie man das im

ℝ^{1}

macht aber im

ℝ^{n}

habe ich echt keine Ahnung

Ich kann mir vorstellen, dass man auf jeden Fall die Jakobimatrix braucht, weil im

ℝ^{1}

lautet es ja:

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{f (x_{k})}{f' (x_{k})}

Deshalb habe ich die schonmal ausgerechnet.

Df(x,y)

= (\begin{matrix} 2 y & 2 x \\ 2 x & - 2 y \end{matrix})

Neuigkeiten:

Habe nun rausgefunden das die goldene Regel lautet:

x_{k + 1} = x_{k} - J^{- 1} \cdot f (x_{k})

wobei

J^{- 1}

die invertierte Jakobimatrix ist.

Jetzt hab ich für(x_1,y_1) (sprich

x_{1}) = (\frac{7}{17}, \frac{23}{52})

und für

(x_{2}, y_{2})

(sprich

x_{2}) = (\frac{1}{26}, \frac{23}{52})

könnte vllt jemadn sagen ob ich richtig gerechnet habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Newton-Verfahren

KleenEule aktiv_icon

20:54 Uhr, 26.05.2010

Thema iss durch!
hab als

x 1 = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})

raus
und als

x 2 = (\frac{239}{120}, \frac{39}{40})

und wenn man

x 2

ins

f

einsetzt , dann erhält man

- \frac{93}{800}, \frac{29}{1800}

was fast 0 ist. Und das war ja der Sinn der Aufgabe :-)

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