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Negativen Gradient berechnen

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Tags: Funktion, Gradient, mehrere Veränderliche

chaoshoney aktiv_icon

18:48 Uhr, 24.04.2015

Hallo! Ich habe ganz neu das Thema des Gradient, der Divergenz und Rotation des Vektorfeldes und noch kaum Durchblick durch all diese Themen, deshalb versuche ich meine Wissenslücken gerade durch Übungen zu schließen. Ich weiß aber leider kaum, mit welchen Schritt ich beginnen muss...

Zeigen Sie, dass die Gravitationskraft

F_{G} = G * \frac{m_{1} * m_{2}}{r^{2}} * \vec{e_{r}}

sich als negativer Gradient des Potentials

V = G * \frac{m_{1} * m_{2}}{r}

schreiben lässt.

Wo soll ich hierbei anfangen? :/ Ich weiß, dass ich zur Berechnung des Gradienten definitiv den Nabla-Operator brauche. Aber das sofortige Ableiten wird sicher nicht der erste Schritt sein? Muss ich den Betrag meines Vektors bilden? Also

∣ \vec{r^{2}} ∣ = (\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})^{2}

? Oder ist das auch schon falsch? :(

Ich benötige wirklich dringend Hilfe bei diesen Themen. Würde mich freuen, wenn jemand einen guten Tipp für mich hätte. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Sina86

10:29 Uhr, 25.04.2015

Hallo,

doch doch, das Ableiten ist richtig. Dort steht, dass du zeigen sollst, dass

F_{G} = - \nabla_{K u g e l} V

gilt. Dabei verwendest du wohl die Kugelkoordinaten-Form von

\nabla

, da

F_{G}

und

V

in Kugelkoordinaten angegeben sind. Aber da keine Winkel vorkommen, ist nur die Ableitung nach

r

von Interesse.

Zum zweiten Punkt, wenn du

r^{2}

in diese Form mit

x, y

und

z

umschreibst, dann kehrst du wieder zurück in die kartesischen Koordinaten. Das ist hier eigentlich nicht erwünscht.

Man kann die Aufgabe auch lösen, indem man

F_{G}

und

V

wieder in kartesische Koordinaten transformiert, den kartesischen

\nabla

-Operator anwendet und dann wieder zurücktransformiert, das wird dann aber seeeeeehr rechenaufwendig. Deswegen löst man die Aufgabe am besten in Kugelkoordinaten.

Lieben Gruß
Sina

chaoshoney aktiv_icon

23:11 Uhr, 25.04.2015

Hallo! :-) Vielen Dank erst einmal für Deine Antwort!
Mich verwirren Kugelkoordinaten etwas...noch nie gehört, um ehrlich zu sein. Und da bin ich mir ziemlich sicher. Wie leite ich denn Kugelkoordinaten ab? Ich habe sie gerade gegoogelt und auch da kommt mir nichts bekannt vor... :/

Habe gerade die Musterlösung erhalten. So soll sie aussehen:

\vec{F_{G}} = - g r a d * \frac{G * m_{1} * m_{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = G * m_{1} * m_{2} * (\begin{array}{c} - \frac{x}{r^{3}} \\ - \frac{y}{r^{3}} \\ - \frac{z}{r^{3}} \end{array})

= G * m_{1} * m_{2} * \frac{1}{r^{3}} * (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

= - G * m_{1} * m_{2} * \frac{\vec{r}}{r^{3}} = - \frac{G * m_{1} * m_{2}}{r^{2}} * \frac{\vec{r}}{r}

Wie komme ich denn auf

- \frac{x}{r^{3}}

? :( Bzw. x ist mir klar, aber

r^{3}

nicht? :/

ledum aktiv_icon

23:55 Uhr, 25.04.2015

Hallo
wenn du

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}

nach

x

differenzierst, was ist dein Ergebnis?
ich denke nicht, dass der grad in Kugelkoordinaten einfacher ist
Gruß ledum

chaoshoney aktiv_icon

00:07 Uhr, 26.04.2015

Hallihallo!

Also, partiell differentiert wäre das

u (x) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \to u' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} * 2 x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \frac{x}{r}

? :-)

ledum aktiv_icon

01:41 Uhr, 26.04.2015

Hallo
du hast

r,

nicht

\frac{1}{r}

differenziert , ich hatte geschrieben, was du differenzieren musst. warum liest di das nicht?
Gruß ledum

chaoshoney aktiv_icon

12:07 Uhr, 26.04.2015

Also nochmal ausführlich von vorn, dann muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben...

u (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- \frac{1}{2}}

\to u' (x) = - \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- \frac{3}{2}} * 2 x = - \frac{2 x}{2 {\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}^{3}} = - \frac{x}{{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}^{3}} = - \frac{x}{r^{3}}

So, tatsächlich verrechnet! Und jetzt kauch das raus, was ich laut Lösungsweg haben soll! :-)

Und wie komme ich nun auf den nächsten Schritt? Müsste

G * m_{1} * m_{2} * \frac{1}{r^{3}} * (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

Müsste es nicht

- G * m_{1} * m_{2} * \frac{1}{r^{3}} * (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

lauten?

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