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Norm einer zweidimensionalen Funktion

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Funktionentheorie

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Kontraktion, Numerik

Ipp2013 aktiv_icon

10:50 Uhr, 11.05.2013

Hallo :-) Ich komme bei meinem Übungsblatt in Numerik nicht weiter:

Ich habe eine Funktion

f : R^{2} \to R^{2}

. Ich soll nun überprüfen, ob

f

bezüglich der unendlich Norm (Maximumsnorm) und der 2-Norm eine Kontraktion ist.

Mein Ansatz wäre:

Ich berechne die Jakobimatrix der Funktion, um dann jeweils die Norm auszurechnen. Und dann ? Wie überprüfe ich dann ob es eine Kontraktion ist?

Vielen Dank schonmal:-)

Lg Ipp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

11:11 Uhr, 11.05.2013

Hallo,

wenn die zur Vektornorm gehörige Matrizennorm der Jacobimatrix eine obere Schranke hat, die kleiner als 1 ist, dann ist

f

eine Kontraktion.

Gruß pwm

Ipp2013 aktiv_icon

11:13 Uhr, 11.05.2013

super danke. Ich probiers gleich mal aus :-)

Ipp2013 aktiv_icon

12:31 Uhr, 11.05.2013

Ich habe jetzt also Matrixnorm der Jakobimatrix raus:

| J_{n} | = \frac{1}{2} \cdot cos (x_{2}) + \frac{1}{2}

wenn ich das abschätze würde ich sagen das ich kleiner gleich eins. weil der cosinus ja maximal 1 wird.

Aber die Bedingung war ja, dass es kleiner als ein ist. Was bedeutet das dann jetzt ?

pwmeyer aktiv_icon

17:02 Uhr, 11.05.2013

Hallo,

das bedeutet, dass Du mit diesem Kriterium nicht nachweisen kannst, dass eine Kontraktion vorliegt. Allerdings beruht dies ja auf Abschätzungen; es kann also allgemein nicht ausgeschlossen werden, dass tatächlich doch eine Kontraktion vorliegt. Dann müsste man mal auf die konkrete Aufgabe schauen.

Für welche Norm hast Du denn die Abschätzung hergeleitet?

Gruß pwm

Ipp2013 aktiv_icon

11:30 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

Es kann natürlich auch sein, dass ich die Norm schon falsch berechnet hab :-D).

Aufgabe:

Es sei

f : R^{2} \to R^{2}

gegeben durch

f (x) = {(f 1 (x), f 2 (x))}^{T} = {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{4} \cdot sin (x 1) + x 2), \frac{1}{2} \cdot (1 + sin (x 2) + x 1))}^{T}

(sorry ich weiß nicht wie man vektoriell schreiben kann :-D) )

J (x_{n}) = {(\frac{1}{8} \cdot cos (x 1) \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot cos (x 2))}^{T}

a)

unendlich Norm= Zeilensummennorm. Sprich ich schau welche Zeilensumme am größten ist.

Ich hätte zum einen:

\frac{1}{8} \cdot cos (x 1) + \frac{1}{2}

und

\frac{1}{2} \cdot cos (x 2) + \frac{1}{2}

Jetzt habe ich so abgeschätzt:

cos ()

ist maximal 1....sprich die zweite Funktion ist das maximum bei mir.

Also wäre doch das dann die Norm (unendlichnorm) oder?

Vlt hab ich auch etwas gaaaanz falsch verstanden.

Danke schonmal :-)

pwmeyer aktiv_icon

17:32 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

kann ich auch nicht besser machen.

Gruß pwm

Ipp2013 aktiv_icon

17:51 Uhr, 12.05.2013

Ok vielen Dank :-) Mal schaun was die Lösungen am Mittwoch sagen ;-)

Schönen Sonntag noch

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