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Normieren einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, normieren

mathepfeifexy aktiv_icon

14:47 Uhr, 01.10.2011

Hallo Freunde, habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Normieren sie die Fkt.

P_{n} (x) = x^{n}

für

n \geq 0

auf die Länge 1.

Habe jetzt iwo gelesen dass ich einen Faktor

a_{n}

finden muss mit dem der Flächeninhalt der Funtion auf 1 gebracht wird. Nun, wie komme ich auf diesen Faktor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Sina86

19:25 Uhr, 01.10.2011

Hi,

für Begriffe wie Länge (und Winkel etc.) benötigst du eine Norm. Diese sollte zu der Aufgabe bekannt sein (bzw. ein entsprechendes Skalarprodukt, das eine Norm induziert). In der Regel wird bei Polynomen etwas verwendet wie:

< p, q > = \int_{- 1}^{1} p (x) \cdot q (x) d x

Gruß
Sina

mathepfeifexy aktiv_icon

23:53 Uhr, 01.10.2011

Hallo Sina,

ich habe von einem Komilitonen folgenden Hinweis, der mir allerdings auch nicht weiterhilft.

c < f, g > + d < f, h >

Wofür stehen die ganzen Buchstaben? Wie wo was einsetzen?? Suche ich nicht ein

a_{n} > 0

so dass

a_{n} P_{n}

die Länge 1 ergibt? Hoffe du kannst mir auf die Sprünge helfen!

Sina86

12:41 Uhr, 02.10.2011

Nun, die Buchstaben werden für Funktionen stehen, wahrscheinlich für Polynome (das kommt auf den Kontext der Aufgabe an!). Die eckigen Klammern stehen für das verwendete Skalarprodukt. Auch dies musst du aus dem Kontext der Aufgabe kennen (es gibt mehr als ein Skalarprodukt). Wird kein explizites Skalarprodukt genannt, dann verwendet man das für den entsprechenden Raum übliche Skalarprodukt, das sogenannte Standardskalarprodukt (im

ℝ^{n}

ist dies z.B. das euklidische Skalarprodukt). Ich GLAUBE, dass für Polynom-Räume das Standard-Skalarprodukt so definiert ist, wie ich es oben gemacht habe, ich bin mir aber nicht sicher und das muss aus deinen VL-Mitschriften hervorgehen, bzw. muss in der Aufgabe ein Skalarpordukt genannt sein.

Ein Skalarprodukt induziert eine Norm, also eine Längenmessfunktion. D.h., wenn du ein Skalarprodukt hast, so definiert dieses eine Norm via

∥ v ∥ := \sqrt{< v, v >}

, wobei

v

ein Vektor des entsprechenden Raumes ist, was in deinem Fall ein Polynom (eine Funktion) ist.

Wie du schon ganz richtig erkannt hast, suchst du nun ein

a_{n} > 0

, so dass

∥ a_{n} \cdot P_{n} ∥ = 1

ist. Der Tipp von deinem Freund hat mit deinem hier geschilderten Problem erst einmal nichts zu tun.

mathepfeifexy aktiv_icon

16:41 Uhr, 02.10.2011

Vielen Dank dass du dir die Zeit genommen hast so ausführlich zu antworten. Ich fasse mal zusammen:

P_{n} (x) = x^{n}

wobei

n \geq 0

gesucht

a_{n}

so dass

| | a_{n} P_{n} | | = 1

Ich habe Skalarprodukte bis jetzt nur mit Vektoren berechnet, ich hoffe das geht für Funktionen analog:

| | a_{n} P_{n} | | = \sqrt{< a_{n} P_{n}, a_{n} P_{n} >} = \sqrt{a_{n}^{2} x^{2 n}} = a_{n} x^{n} = 1

Und jetzt stellt sich die Frage für welches

a_{n}

das

x^{n}

die Gleichung 1 wird?

ODER so

< a_{n}, P_{n} > = \int_{- 1}^{1} a_{n} x_{n} d x = {[a_{n} \frac{1}{n + 1} x^{n + 1}]}_{- 1}^{1} = a_{n} \frac{1}{n + 1} + a_{n} \frac{1}{n + 1} = 2 a_{n} \frac{1}{n + 1} = 1 \Rightarrow a_{n} = 1

Nun, wenn ich ehrlich bin erscheinen mir beide Versionen fragwürdig (fragwürdig dass ichs begriffen hab). Ich versuche es echt zu verstehen! Was sagst du?

Sina86

17:36 Uhr, 03.10.2011

Nun, Skalarprodukte berechnet man immer nur für Vektoren, denn Vektoren sind nichts anderes als Elemente eines Vektorraumes. Du meinst wahrscheinlich Vektoren des

ℝ^{n}

, also n-Tupel...

Aber hier arbeitest du mit dem Vektorraum der Polynome. Die reellen Polynome bilden einen Vektorraum über den reellen Zahlen. Du sollst nun etwas normieren, d.h. du sollst eine Zahl

a_{n} \in ℝ

finden, so dass

∥ a_{n} P_{n} ∥ = 1

ist. Nun kann man etwas weiter rechnen, indem man die Eigenschaften der Norm ausnutzt:

∥ a_{n} P_{n} ∥ = ∣ a_{n} ∣ \cdot ∥ P_{n} ∥ = 1 \Leftrightarrow ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{∥ P_{n} ∥}

(daher stimmt deine zweite Version nicht)

Dabei muss man sicherstellen, dass

∥ P_{n} ∥ \neq 0

ist, da jedoch

P_{n}

nicht das Nullpolynom ist und daher

∥ P_{n} ∥ \neq 0

ist, ist das alles ok soweit.

Nun noch einmal zum Skalarprodukt: Es gibt nicht nur ein Skalarprodukt (dieser Eindruck wird manchmal in der Schule vermittelt, das stimmt aber nicht), sondern es gibt unendlich viele Skalarprodukte. Das Skalarprodukt, dass man in der Schule verwendet, heißt das Euklidische Skalarprodukt und kann auf Polynome gar nicht angewendet werden (daher stimmt deine erste Version nicht)... Um die Verwirrung komplett zu machen, bezeichnet man in der Regel alle Skalarprodukte mit

< ., . >

, man muss sich aber immer klar machen, welche Funktion hinter

< ., . >

steckt.

Skalarprodukte sind Abbildungen

< ., . > : V \times V \to ℝ

, die bestimmte Bedingungen erfüllen müssen. Das Skalarprodukt, das ich angegeben habe, ist nur ein Beispiel für ein mögliches Skalarprodukt, welches du nun verwenden musst für deine Aufgabe, musst du rausfinden (Kommilitonen/Aufgabensteller/Tutor fragen oder es muss irgendwie auf dem Zettel stehen).

Ich verwende jetzt das Skalarprodukt, dass ich angegeben habe:
Sei z.B.

p (x) = 3 x^{2} + 1

q (x) = 2 x^{3} - x

. Dann gilt:

\int_{- 1}^{1} p (x) \cdot q (x) d x = \int_{- 1}^{1} (3 x^{2} + 1) \cdot (2 x^{3} - x) d x = \int_{- 1}^{1} 6 x^{5} + 2 x^{3} - 3 x^{3} - x d x

= \int_{- 1}^{1} 6 x^{5} - x^{3} - x d x = [x^{6} - \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]_{x = - 1}^{x = 1} = (1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = 0

Somit sind die Polynome

p

und

q

orthogonal zueinander.

mathepfeifexy aktiv_icon

20:26 Uhr, 03.10.2011

Hallo Sina, nochmals vielen Dank für deine Mühe. Ich verstehe größtenteils was du sagst, inbesondere auch deine Beispielaufgabe. Aber ich habe doch nur ein Polynom

P (x) = x^{n}

? Angenommen das von dir vorgeschlagene Skalarprodukt wäre richtig, wie wäre dann die entsprechende Rechnung?

Habe woanders gelesen dass man eben einen Faktor

a_{n}

so dass der Flächeninhalt der Funtion im Definitionsbereich 1 wird. Also in etwa so

a_{n} \int_{0}^{\infty} x^{n} d x

oder mit dem von dir vorgeschlagenen Definitionsbereich

a_{n} \int_{- 1}^{1} x^{n} d x

Ich habe beide Versionen mal auf Papier nachgerechnet, komme jedoch in beiden Fällen auf kein brauchbares Ergebnis.

EDIT: Sehe gerade dass ich genau das schon oben ausgerechnet hab, auf Papier kam noch größerer Unfug raus...

: (

Sina86

10:36 Uhr, 04.10.2011

Du musst ja auch das Skalarprodukt von

P_{n}

mit sich selber ausrechnen...

∥ a_{n} \cdot P_{n} ∥ = \sqrt{< a_{n} \cdot P_{n}, a_{n} \cdot P_{n} >} = \sqrt{a_{n} 2 \cdot < P_{n}, P_{n} >} = ∣ a_{n} ∣ \cdot \sqrt{< P_{n}, P_{n} >} = ∣ a_{n} ∣ \cdot ∥ P_{n} ∥ = 1

\Leftrightarrow ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{∥ P_{n} ∥} = \frac{1}{\sqrt{< P_{n}, P_{n} >}}

Um nun auf

∣ a_{n} ∣

zu schließen, musst du

< P_{n}, P_{n} >

ausrechnen.

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