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Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrem

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Vorzeichenwechsel

Stanix93 aktiv_icon

19:41 Uhr, 03.02.2011

Also ich komme mal grad gar nicht klar mit meinen Hausaufgaben könnt ihr mir helfen?

Ich versteh das ganze Thema nicht, und was hat es mit dem Vorzeichenwechsel auf sich?

Ermitteln sie Die Extremstellen. Versuchen Sie den Nachweiß mit einer hinreichenden Bedingung

$f (x) = - x^{6} + x^{4}$

achso ja die ableitung konnte ich noch

$f' (x) = - 6 x^{5} + 4 x^{3}$

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 12 x²$

danke im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

19:48 Uhr, 03.02.2011

Hallo Stanix,

hier erstmal eine Webside:

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/jahrgang112pdf/NotwendigeBedingungen.pdf

Viel Erfolg wünscht

Atlantik

anonymous

19:48 Uhr, 03.02.2011

Die Notwendige Bedingung für Extrema ist, dass die erste Ableitung gleich 0 ist, da an der Stelle die Steigung 0 ist und es sich eventuell um ein Extrema handelt.

f' (x) = 0

Das heißt auch, dass wir für diese Stellen die Nullstellen berechnen müssen da sich an den Stellen ja die Extrema befinden.

Stanix93 aktiv_icon

19:53 Uhr, 03.02.2011

also f'(x)= 0

wenn ich die nullstellen ausrechne kommt x=0 raus

das selbe bei der 2ten Ableitung und jetzt?

anonymous

19:56 Uhr, 03.02.2011

f' (x) = - 6 x^{5} + 4 x^{3}

Hat nicht nur eine Nullstelle.

DmitriJakov aktiv_icon

19:59 Uhr, 03.02.2011

Für das hinreichende Kriterium schau Dir vielleicht nochmal das hier an: de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Hinreichende_Kriterien

Stanix93 aktiv_icon

20:03 Uhr, 03.02.2011

stimmt ja ...

also nullstellen für f'(x)

x1= 0

x2= $\sqrt{2 / 3}$

x3= - $\sqrt{2 / 3}$

für f''(x)

x1= 0

x2= $\sqrt{6 / 15}$

x3=- $\sqrt{6 / 15}$

richtig oder???

so und weiter?

Stanix93 aktiv_icon

20:16 Uhr, 03.02.2011

hallo?

ich brauche das driiiiiiiiiiingend, brauche das für morgen, und ich muss noch aufgaben machen, kann die mir mal grad einer vorrechnen dann kann ich bestimmt den rest alleine, oder ich frage hier wieder nach, ich brauche halt nur ein Beispiel

Stanix93 aktiv_icon

20:29 Uhr, 03.02.2011

kann mir keiner helfen?

ich brauche halt nur noch das mit dem Vorzeichenwechsel

den rest habe ich herausgefunden

DmitriJakov aktiv_icon

20:37 Uhr, 03.02.2011

f' (x) = - 6 x^{5} + 4 x^{3}

Extremum an der Stelle

x = 0

?

Da nur ungerade Exponenten vorkommen, führen negative

x

zu negativen Werten, positive

x

zu positiven Werten. Es kommt also an der Stelle 0 zu einem Vorzeichenwechsel.

Stanix93 aktiv_icon

20:40 Uhr, 03.02.2011

ja und wie berechne ich diesen Vorzeichenwechsel?????

ich habe mein buch in der schule vergessen, war heute nicht da, und der lehrer sammelt morgen von jedem die hausaufgaben ein -.-

und ich brauche halt ein beispiel wie ich es benutze und warum

danke im vorraus

DmitriJakov aktiv_icon

20:50 Uhr, 03.02.2011

Wenn

f' (0 - δ) < 0

und

f' (0 + δ) > 0 \to

Minimum
Wenn

f' (0 - δ) > 0

und

f' (0 + δ) < 0 \to

Maximum

δ

ist so zu wählen, dass

δ

kleiner als der Abstand zur nächsten Nullstelle von

f' (x)

ist.

Stanix93 aktiv_icon

20:54 Uhr, 03.02.2011

hmm danke -.-

aber ich verstehe von vorn und hinten nit deine antwort

kannst du die mal für dumme erklären oder mal es an meiner Funktion rechnen?

wie gesagt ich muss ja noch aufgaben machen und die sah noch am einfachsten von allen aus, deswegen wollte ich das ich mal die antwort von der weiß und dann selber weiter machen kann

DmitriJakov aktiv_icon

21:09 Uhr, 03.02.2011

f' (x) = - 6 x^{5} + 4 x^{3} = 0

x^{3} (- 6 x^{2} + 4) = 0

Nullstelle bei

x = 0

und bei

x = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,81

und

x = - \sqrt{\frac{2}{3}} \approx - 0,81

δ

muss nun kleiner als

0,81

sein, damit man nicht in den nächsten (potentiellen) Vorzeichenwechsel von

f' (x)

hineinschiesst.

δ = \frac{1}{2}

wäre somit in Ordnung.

f' (0 + δ) = f' (\frac{1}{2}) = - 6 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} + 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = - 6 \cdot \frac{1}{32} + 4 \cdot \frac{1}{8} = - 6 \cdot \frac{1}{32} + 4 \cdot \frac{4}{32} = \frac{- 6 + 16}{32} > 0

f' (0 - δ) = f' (- \frac{1}{2}) = - 6 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{5} + 4 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} = - 6 \cdot (- \frac{1}{32}) + 4 \cdot (- \frac{1}{8}) = 6 \cdot \frac{1}{32} - 4 \cdot \frac{4}{32} = \frac{6 - 16}{32} < 0

Stanix93 aktiv_icon

21:24 Uhr, 03.02.2011

heißt das jezz hochpunkt oder tiefpunkt?

also gehts von positiv zu negativ oder andersrum

DmitriJakov aktiv_icon

21:29 Uhr, 03.02.2011

links Steigung negativ, rechts positiv

\to

Minimum

Stanix93 aktiv_icon

21:32 Uhr, 03.02.2011

häää

also sry vll liegts an mir aber wodran siehst du das????

DmitriJakov aktiv_icon

21:35 Uhr, 03.02.2011

Die beiden langen Zeilen ein Stückchen weiter oben:

f' (0 - δ) < 0

f' (0 + δ) > 0

δ = + \frac{1}{2}

Mehr kann ich nun nicht mehr dazu sagen.

Stanix93 aktiv_icon

22:27 Uhr, 03.02.2011

okkeeeyy

danke habs jetzt verstanden

ich schließe dann mal

cya

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