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Oberfläche und Volumen eines Zylindertorus

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, oberfläch, Rotationskörper, Torus, volum, Zylinder

jurii aktiv_icon

12:23 Uhr, 13.11.2024

Hallo :-)

ich suche die Formeln für eine geometrische Form, dessen Name ich nicht weiß, die ich daher einfach mal Zylindertorus nenne und hoffe, dass das nicht ganz falsch ist. Eigentlich sieht diese Form nicht kompliziert aus und man findet öfter mal derartige Gegenstände, nur berechnet wird sie wohl nicht oft.

Es geht um einen Zylinder, dessen Mantelfläche den Querschnitt eines Halbkreises hat, also auf dessen Mantelfläche der äußere Teil eines Ringtorus angebracht ist.

Anders ausgedrückt: ein Rotationskörper, der von der geometrischen Form Stadion ( en.wikipedia.org/wiki/Stadium_(geometry) ) gebildet wird, welche um die Mittelsenkrechte durch die beiden parallelen Geraden rotiert.

Von dieser Form brauche ich Formeln für Oberfläche und Volumen, abhängig von Höhe und Breite (oder Radius) dieser Form oder des zu Grunde liegenden Zylinders.

Ich vermute, die Berechnung geht über die Guldinschen Regeln, für welche man aber integrieren muss und die mich daher mathematisch überfordern. Möglicherweise hat ja schon mal jemand diese Berechnung gemacht und die Formeln noch irgendwo rumliegen.

Ich hänge noch das Bild eines Holzdeckels an, der ungefähr diese Form hat. Die Mantelfläche ist dort aber nicht ganz halbkreisförmig.

Vielen Dank!
J.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

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calc007

15:46 Uhr, 13.11.2024

Hallo
Ich hab mal eine Bemaßung gemäß Anlage gemacht.
Folglich ist der Radius des Torus

= \frac{H}{2}

oder Körper-Außendurchmesser

= 2 \cdot R + H

Teilen wir den Körper mal namentlich in einen Zylinder und den (Halb-) Torus.
(PS: geometrisch ist dies übrigens uneingeschränkt der Teil eines Torus.)

Oberfläche der zwei Zylinder-Kreisflächen:

A = π \cdot R^{2}

Oberfläche des Torus:

A = π^{2} \cdot H \cdot (R + \frac{H}{π})

folglich Oberfläche des Gesamtkörpers:

A = 2 \cdot π \cdot R^{2} + π^{2} \cdot H \cdot (R + \frac{H}{π})

Volumen des Zylinders:

V = π \cdot R^{2} \cdot H

Volumen des Torus:

V = \frac{H^{2}}{12} \cdot (3 \cdot π \cdot R + H)

folglich KörperVolumen:

V = π \cdot R^{2} \cdot H + \frac{H^{2}}{12} \cdot (3 \cdot π \cdot R + H)

Roman-22

16:20 Uhr, 13.11.2024

@calc007

>

folglich KörperVolumen:

>

V=π⋅R2⋅H+H212⋅(3⋅π⋅R+H)

Dein "Torus"volumen kann schwerlich richtig sein, sollte sich doch für

R = 0

das Volumen einer Kugel mit Durchmesser

H

einstellen, also

H^{3} \cdot \frac{π}{6}

und nicht, so wie bei dir,

\frac{H^{3}}{12}

.

Interessant fand ich auch die Formulierung "geometrisch ist dies übrigens uneingeschränkt der Teil eines Torus".
Ich dachte, wenn es sich nur um einen Teil und nicht um das Ganze handelt, wäre das durchaus eine Einschränkung ;-)

P . S . :

Ich komme für das Gesamtvolumen dieser Scheibe mit Rundfase auf

V = π \cdot R^{2} \cdot H + π \cdot \frac{H^{2}}{12} \cdot (3 \cdot π \cdot R + 2 \cdot H)

Bei der Oberfläche sind wir uns einig ;-)

calc007

17:02 Uhr, 13.11.2024

Ja, Romans erster Einwand ist berechtigt - und seine Volumenformel kann ich nun auch bestätigen.

jurii aktiv_icon

18:13 Uhr, 13.11.2024

Das ist ganz grandios, vielen herzlichen Dank!

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