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Ordnungsrelation beweisen

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Tags: Äquivalenzrelation, Funktion, Funktionenfolgen, Mengentheoretische Topologie, Ordnungsrelation, Relation., Sonstig, Teilmenge, Totale Ordnung

 
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Maxi-1997

Maxi-1997 aktiv_icon

18:56 Uhr, 04.12.2017

Antworten
hallo leute, ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen.

Zurzeit nehmen wir das Thema "Relationen" durch und wir müssen ein paar Aufgaben zu diesem Thema bearbeiten. Ich weiß schon, was reflexiv, symmetrisch, transitiv usw. ist und kann es konkret anwenden.


Nun kommt eine Aufgabe, bei der ich eine Ordnungsrelation beweisen muss. Ich hänge seit längerer Zeit an dieser aufgabe rum, aber ich weiß einfach nicht, wie man sowas beweist...

Ich schreibe hier die Aufgabe auf. Habe sie dann unten nochmal hochgeladen.

Aufgabe:

______________________________________________________________

(a) Sei M ⊂ IN beliebig. Zeigen Sie, dass durch

a|b :⇔ b ist durch a teilbar

eine Ordnungsrelation auf M definiert ist.

(b) Entscheiden Sie jeweils, ob die in (a) definierte Ordnung eine totale Ordnung auf M
definiert und beschreiben Sie in beiden Fällen die Ordnung als Teilmenge von M ×M.
i. M={1,2,3,4,5,6}
ii. M={2,4,8,16,32}

______________________________________________________________

ich hänge bei der a) fest, weil ich nicht weiß wie man das zeigen soll.. Kann mir da jemand helfen? Im Internet habe ich auch wenig dazu gefunden. Ich denke, ich muss es nur einmal richtig gesehen haben, wie man sowas beweist...

Halb so schlimm ist es bei der b), trotzdem bin ich auch da verwirrt... Sollte ich bei der b) einfach prüfen, ob die Mengen
i. M={1,2,3,4,5,6}
ii. M={2,4,8,16,32}
eine totale Ordnung sind?


Ich bin echt langsam am Verzweifeln.
Für eure Hilfe wäre ich echt dankbar!

Mfg Max

peta124

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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ledum

ledum aktiv_icon

22:25 Uhr, 04.12.2017

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du musst einfach die Axiome nachprüfen:
damit eine Relation eine Ordnung ist (hier Halbordnung muss gelten:
1. reflexiv
2. transitiv
3. antisymmetrisch
das erfüllt deine Relation, aber du musst es natürlich noch zeigen.
damit es eine Totalordnung ist muss ausserdem gelten
es gilt für alle Element x,y∈M
x teilt y oder y teilt x
du siehst sofort, dass das etwa für 2 und 5, wenn die also in M liegen ist es schon mal keine Totalordnung .
damit kannst du wohl auch die 2 te Frage beantworten.
Gruß ledum
Maxi-1997

Maxi-1997 aktiv_icon

23:13 Uhr, 04.12.2017

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Hey, danke für die schnelle Antwort. Das Beispiel mit der 5 und die 2 würde ja die b) beantworten, da ein Beispiel eigentlich reicht, um zu zeigen, dass eine Totalordnung nicht für alle Elemente der Menge gilt, oder?

Aber ich verstehe nicht genau die a). Eine Ordnungsrelation hat doch keine Eigenschaften zu erfüllen,oder? Falls ja, dann wüsste ich nicht, wie man das für alle Elemente zeigt...

LG Max
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ledum

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 04.12.2017

Antworten
Hallo
zu a) es gibt, wie du ja im 2 ten Teil siehst schon Teilmengen von ℕ in dem das eine Totalordnung ist. also musst du sagen dass es keine Totalordnung in allen M⊆ℕ ist. wegen Gegenbeispiel ,2,5∈M
und ja du musst die 3 Eigenschaften zeigen, sonst ist es keine Ordnung. eine Ordnungsrelation hat genau die 3 Eigenschaften, die ich dir geschrieben habe, steht sicher auch irgendwo in deinem Skript .
Gruß ledum
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