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Funktion aus Steigungswerten

Universität / Fachhochschule

Tags: Ableitungsregel, Analysis

GeheimAgent001254 aktiv_icon

16:47 Uhr, 13.10.2024

Hallo,

habe die Werte

f (0) = 1, f (1) = 3

.
Eine Funktion erster Ordnung

f (x)

wäre damit

2 x + 1

Jetzt suche ich eine Funktion zweiter Ordnung

g (x)

, sodass

g

an der Stelle

x = 0

die Steigung

f (0)

hat und an der Stelle

x = 1

die Steigung

f (1)

.

Dafür hab ich

g (x) = (x + \frac{1}{2})^{2} + c

Erst dachte ich das ist ja nur Integration, aber da ist ne Verschiebung drin, die ich nicht blicke.
Könntet ihr mir dazu ein bisschen Input geben?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Kettenregel
Quotientenregel

Messe687 aktiv_icon

17:39 Uhr, 13.10.2024

Hey,

ich hoffe ich verstehe deine Frage richtig und zwar: Wie kommt man auf

g (x) = (x + \frac{1}{2})^{2} + c

Falls ja, hier wäre mein Vorgehen:

Deine Funktion zweiter Ordnung sieht allgemein so aus:

g (x) = a x^{2} + b x + c

a

und

b

musst du rausfinden.

Dazu leitest du dein

g (x)

ab:

g ´ (x) = 2 a x + b

Aus der Aufgabenstellung folgt:

g ´ (0) = 1

und

g ´ (1) = 3

Also:

g ´ (0) = b = 1

und

g ´ (1) = 2 a + b = 3

Daraus folgt

a = 1

und

b = 1

Du bekommst

g (x) = x^{2} + x + c

wobei

c \in ℝ

da die Konstante beim Ableiten eh wegfällt.

Jetzt nutzt du aus, dass Konstanten wegfallen und schreibst

g (x) = x^{2} + x + \frac{1}{4} + c

Den ersten Teil kannst du jetzt zusammenfassen:

x^{2} + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^{2}

Du erhälst also dein gewünschtes

g (x) = (x + \frac{1}{2})^{2} + c

Ich hoffe das war deine Frage und hat geholfen :-)

calc007

18:55 Uhr, 13.10.2024

Ich verstehe deine Frage so, dass du aus deinen Angaben eine eindeutige Funktion erwartest,
und mit "Verschiebung" mutmaßlich den Koeffizienten "c".

Du kannst ja mal die Kontrolle machen, für

g (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1

oder

g (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 3

oder

g (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 8

oder

g (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1000000

oder

. .

.
Du wirst feststellen, dass alle diese Funktionen deine Forderungen nach

g' (0) = 1

g' (1) = 3

erfüllen.
Es ist sehr typisch in der Integralrechnung und bei Lösung von Differenzialgleichungen wie dieser, dass du eine Integrationskonstante erhältst, mutmaßlich meinst du damit "Verschiebung", die aus diesen Angaben allein eben noch nicht eindeutig zu beantworten ist.

Du brauchst typischerweise eben noch eine Randbedingung oder Angabe, um die Integrationskonstante "c" zu bestimmen.

HAL9000

15:02 Uhr, 14.10.2024

Kurz mal rekapituliert, ganz ohne den großen Formelwust:

Für eine Polynomfunktion

g

zweiter Ordnung wird gefordert, dass deren Ableitung

g ´

an zwei verschiedenen Stellen mit einer gegebenen linearen Funktion

f

übereinstimmt.

Da

g ´

aber auch eine lineare Funktion ist, muss zwangsläufig

g ´ = f

gelten, d.h.

g

muss eine Stammfunktion von

f

sein. Da (bis jetzt zumindest) keine weiteren Forderungen bestehen, gibt es unendlich viele solche Stammfunktionen, die sich alle nur durch eine Konstante unterscheiden.

HJKweseleit aktiv_icon

11:08 Uhr, 15.10.2024

Ergänzung zu Hal9000:

g (x) = a x^{2} + b x + c

g ʹ (x) = 2 a x + b

g ʹ (0) = b = 1

g ʹ (1) = 2 a + b = 2 a + 1 = 3

a = 1

g (x) = x^{2} + x + c,

Graph beliebig um c nach oben oder unten verschiebbar, das ändert ja nichts an der Steigung.

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