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Parametrisierung von Funktionen (graphisch)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, parametrisierung

omniscient aktiv_icon

23:25 Uhr, 05.10.2022

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich einen kleinen Denkanstoß benötige.
Nehmen wir an:

Die Kurve durchläuft eine Gerade von

A =

(−1,

0)

nach

B = (0, 1),

anschließend einen Dreiviertelkreis mit Mittelpunkt

M = (0, 2)

von

B

aus bis

C =

(−2,

2)

und eine Gerade von

C

nach

D =

(−3,

3)

.

Diese Kurve soll ich nun parametrisieren.
Kann ich hierbei die Verkettung von Funktionen anwenden?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

07:34 Uhr, 06.10.2022

Hallo,

"Verkettung" ist aus meiner Sicht der falsche Begriff. Hier geht es eher um abschnittweise definierte Funktionen der Art

f : x \mapsto {\begin{aligned} \dots, & a \leq x < b \\ \dots, & b \leq x < c \\ \dots \end{aligned}

.

Nebenbei: Dies führt zu einer Aufspaltung des Integrals nach den Grenzen, ganz im Sinne deines anderen postings, bei dem ich nicht weiß, wie ich da antworten soll. Vielleicht hilft dort ein Beispiel?!

Mfg Michael

omniscient aktiv_icon

08:51 Uhr, 06.10.2022

Hallo Michael,

vielen Dank für die schnelle Rückantwort. Aber, wenn ich diese Kurve nun parametrisieren soll, dann muss ich ja zuerst mal die Geradenstücke, Kreisstücke parametrisiert angeben und dann zu einer kompletten Funktion miteinander irgendwie ja auch verketten können oder? Ja bei anderen würde ein Beispiel schon helfen und bitte eine kurze Erklärung, welche Intervalgrenze festzulegen ist.

Liebe Grüße

Kartoffelchipsman aktiv_icon

03:22 Uhr, 07.10.2022

Mit

a_{1} : [0,3] \to [0,1], x \mapsto \frac{x + | x | - | x - 1 | - (x - 1)}{2} = \frac{1 + | x | - | x - 1 |}{2},

a_{2} : [0,3] \to [0,1], x \mapsto \frac{(x - 1) + | x - 1 | - | x - 2 | - (x - 2)}{2} = \frac{1 + | x - 1 | - | x - 2 |}{2},

a_{3} : [0,3] \to [0,1], x \mapsto \frac{(x - 2) + | x - 2 | - | x - 3 | - (x - 3)}{2} = \frac{1 + | x - 2 | - | x - 3 |}{2},

t_{1} : [0,1] \to R^{2}, x \mapsto x \cdot ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix})),

t_{2} : [0,1] \to R^{2}, x \mapsto (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} sin (\frac{3}{2} \cdot π \cdot x) \\ - cos (\frac{3}{2} \cdot π \cdot x) \end{matrix}) \cdot (1 + x),

t_{3} : [0,1] \to R^{2}, x \mapsto x \cdot ((\begin{matrix} - 3 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}))

ist

k : [0,3] \to R^{2}, x \mapsto (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) + t_{1} (a_{1} (x)) + t_{2} (a_{2} (x)) + t_{3} (a_{3} (x))

eine mögliche Kurve "in einem Swusch".

Kartoffelchipsman aktiv_icon

05:08 Uhr, 07.10.2022

Hier noch alles eingesetzt und ein wenig gepackt.

WolframAlpha konnte es sogar plotten, siehe Anhang.

k (x) = \frac{1 + | x | - | x - 1 |}{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} sin (\frac{3}{2} \cdot π \cdot \frac{1 + | x - 1 | - | x - 2 |}{2}) \\ - cos (\frac{3}{2} \cdot π \cdot \frac{1 + | x - 1 | - | x - 2 |}{2}) \end{matrix}) \cdot \frac{3 + | x - 1 | - | x - 2 |}{2}

+ \frac{3 + | x - 2 | - | x - 3 |}{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

.

Für

x < 0

und

x > 3

ist

k

konstant

und auf

[0,3]

durchläuft

k

stetig "die Figur".

Roman-22

06:53 Uhr, 07.10.2022

Wie soll denn ein Kreis mit Mittelpunkt

(0 / 2),

der durch den Punkt

B (0 / 1)

läuft, auch durch den Punkt

C (- 2 / 2)

laufen?
Das wird doch wohl eher

C (- 1 / 2)

gemeint sein!

Ganz abgesehen davon spricht doch nichts gegen eine abschnittsweise definierte Funktion anstelle einer verkrampften Kunstlösung "in einem Swusch" (was immer das auch sein soll), oder?

michaL aktiv_icon

07:24 Uhr, 07.10.2022

Hallo,

ich habe meine Zweifel, dass diese Parametrisierung korrekt ist. Wenn das Bild stimmt, ist der Weg sicher nicht der gesuchte. Insbesondere müsste ein Kreis um (0;2) durch (0;1) wohl auch durch (0;3) verlaufen, wonach es hier nicht aussieht. Auch die Steigung (des Kreisrands) in (0;1) scheint nicht zu stimmen!

Ich hatte zudem an etwas einfacheres gedacht. Vermutlich soll ja über den Weg noch integriert werden. Da sind Abschnitte leichter handhabbar.

Der (gerade) Weg zwischen zwei Punkten

A

und

B

ist durch

\vec{O A} + t \cdot \vec{A B} = (1 - t) \vec{O A} + t \vec{O B}

mit

t \in [0; 1)

gegeben, wie dir sicherlich aus der Vektorrechnung der Schule her bekannt sein dürfte. (Wir nehmen hier den Randpunkt nicht mit dazu. Er kommt durch den nächsten Abschnitt mit ins Spiel.

Kreislinien mit gegebenem Radius

r

und Mittelpunkt

M

kann man einfach über

\vec{O M} + r (\begin{array}{r} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array})

parametrisieren.
Dabei wäre

t \in [0; 2 π)

zu wählen.
Die Kreislinie ist dann aber ein Vollkreis, der rechts vom Mittelpunkt einmal GEGEN den Uhrzeigersinn läuft.
Damit der Kreis vom Parameter

t

her nahtlos an die Strecke passt, müssten wir das per

\vec{O M} + r (\begin{array}{r} \cos (t - 1) \\ \sin (t - 1) \end{array})

regeln.
Der Parameter

t

wäre nun aus dem Intervall

[1; 2 π + 1)

zu wählen.
Der Kreis wird noch immer IM Uhrzeigersinn durchlaufen.
Den Umlaufsinn kann man durch das Vorzeichen im Sinus bzw. Kosinus regulieren:

\vec{O M} + r (\begin{array}{r} \cos (1 - t) \\ \sin (1 - t) \end{array})

Damit würde Kreis aber immer noch nicht bei (0;1) beginnen, sondern bei (1;2).
Eine Vierteldrehung IM Uhrzeigersinn erreicht man durch Addition von

\frac{π}{2}

\vec{O M} + r (\begin{array}{r} \cos ((1 - t) + \frac{π}{2}) \\ \sin ((1 - t) + \frac{π}{2}) \end{array})

Dass nur ein Dreiviertelkreis durchlaufen wird, regeln wir über das Parameterintervall:

t \in [1; \frac{3}{2} π + 1)

(* An dieser Stelle will ich nicht verschweigen, dass man die Vierteldrehung auch durch einen Tausch der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus (+Vorzeichenkorrektur) erreichen kann. Auf diese Weise lernt man aber mehr.)

Schließlich musst du noch den (geraden) Weg von

C

nach

D

einbauen.
Wie man das für Parameterwerte

t \in [0; 1]

macht, ist oben beschrieben.
Bekommst du einen Term hin, sodass der Parameter

t \in [\frac{3}{2} π + 1; \frac{3}{2} π + 2]

ist?

Mfg Michael

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:08 Uhr, 07.10.2022

Compilation meiner zwei Beiträge mit Ergänzungen.

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