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Partielle Integration eines Funktionals

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Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Integration

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Integration, Partielle Integration

n3c4z3 aktiv_icon

11:25 Uhr, 16.06.2015

Hallo liebe Mathe-Gemeinde,

ich stecke momentan an der Berechnung eines (komplexeren) Zwischenweges fest.
Gegebe ist folgendes Integral (Aktions-Funktional):

S = \int \int Φ {- \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t^{2}} + \frac{c_{0}^{2}}{2} Δ Φ + q} d^{3} \vec{x} d t

Hierbei ist

Φ (\vec{x}, t)

eine vektorielle Feldgröße (z.B. die Geschwindigkeit) und

Δ

der Laplace-Operator. Des Weiteren ist mir das Ergebnis bekannt, welches durch partielle Integration erzielt werden soll, um auf die Lagrange-Dichte schließen zu können. Dieses lautet:

S = \int \int {\frac{1}{2} (\frac{\partial Φ}{\partial t})^{2} - \frac{c_{0}^{2}}{2} (g r a d Φ)^{2} + Φ q} d^{3} \vec{x} d t

Der Ausdruck in den geschweiften Klammern stellt für spätere Betrachtungen die Lagrange-Dichte dar. Es sind leider neben dem Hinweis, dass die partielle Integration verwendet wurde, keinerlei Zwischenschritte angegeben. Nun will es mir aufgrund mangelnder Kenntnisse im Umgang mit partiellen Ableitungen in Integralen nicht gelingen das Ergebnis eigenhändig zu berechnen. Ich würde mich demnach sehr freuen, wenn findigere und klügere Köpfe als meine Wenigkeit Hinweise, Tipps oder gar Lösungswege präsentieren könnten.
Mir ist vor allem nicht ganz klar was ich mit dem ersten Term nach dem Gleicheitszeichen bei der partiellen Integration:

\int f' (x) \cdot g (x) d x = f (x) \cdot g (x) - \int f (x) \cdot g' (x) d x

mache.
Als Ansatz habe ich

g = Φ

und

f' = - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t^{2}} + \frac{c_{0}^{2}}{2} Δ Φ + q

gewählt.
Das Ziel der ganzen Prozedur ist die quadratischen Ableitungen zu reduzieren.
Ich hoffe, dass ich meine Problematik einigermaßen nahe bringen konnte, so dass Hinweise gegeben werden können, und freue mich über jeden hilfreichen Tipp.

Besten Gruß,

n3c4z3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

13:48 Uhr, 16.06.2015

Hallo,

es seiht so aus, als würde für den ersten Term (Differentiation nach

t)

die Integration nach

t

mit partieller Integration

(g = Φ, f' = \partial_{t}^{2} Φ)

benutzt.
Für den zweiten Term dann eine (der beiden) Greenschen Formeln udn Integration bezüglich

x

.

Allerdings vermisse ich in beiden Fällen die Randterme oder ist etwas über

Φ

auf dem Rand des Integrationsgebiets gesagt?

Gruß pwm

n3c4z3 aktiv_icon

14:43 Uhr, 16.06.2015

Hallo,

zunächst vielen Dank für die Rückmeldung.
Ich habe ebenfalls bereits darüber nachgedacht, ob man nicht die Integrale aufteilen kann (wobei ich nicht genau weiss, ob das zulässig ist):

S = \int \int Φ (- \frac{1}{2} \partial_{t}^{2} Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int Φ (\frac{c_{0}^{2}}{2} Δ Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int Φ q d^{3} \vec{x} d t

Dann könnte ich zumindest jeden Term einzeln betrachten.
Allgemein würde ich

g = Φ

setzen,

f_{1} ʹ = \partial_{t}^{2} Φ

f_{2} ʹ = Δ Φ

und das dritte Integral benötigt ja zunächst keine weitere Aufmerksamkeit. Jetzt ist für mich nur nicht ganz klar wie

g ʹ

zu wählen ist (evtl. mit substantieller Ableitung

g ʹ = \frac{d Φ}{d t} = \partial_{t} Φ + c_{0} g r a d Φ

?). Außerdem, wie sehen

f_{1}

und

f_{2}

aus? (

f_{1} = \partial_{t} Φ

f_{2} = g r a d Φ

; oder übersehe ich etwas?).
Bezüglich der Ränder ist keinerlei Angabe gemacht. Da die gesamte theoretische Betrachtung später auf Messergebnisse angewendet werden soll, könnte man jedoch die Annahme treffen, dass sowohl der Raum als auch die Zeit beschränkt sind (d.h. im Grenzübergang zum Unendlichen müsste sowohl die Feldgröße \Phi an sich als auch deren jeweilige Ableitung gegen 0 streben).

Gruß,

n3c4z3

pwmeyer aktiv_icon

18:21 Uhr, 16.06.2015

Wie gesagt, für das zweite Integral würde ich die Greenschen Formeln verwenden.

Gruß pwm

n3c4z3 aktiv_icon

08:57 Uhr, 17.06.2015

Hmmmm, durch Anwendung der Greenschen Formeln wandel ich jedoch das Volumenintegral in ein Oberflächenintegral. Dann wird es meiner Ansicht nach schwierig zum angegebenen Ergebnis, bei dem weiterhin Volumenintegrale vorhanden sind, zu gelangen.

pwmeyer aktiv_icon

10:00 Uhr, 17.06.2015

Hallo,

eine Greensche Formel sagt:

\int Φ \cdot Δ Φ d x = - \int

grad(

Φ) \cdot

grad(

Φ) d x +

Randintegral

Der 1. Term auf der rechten Seite ist der gewünschte. Wie gesagt, bleibt die Frage nach dem Randverhalten von

Φ

.

Gruß pwm

n3c4z3 aktiv_icon

13:47 Uhr, 17.06.2015

Hallo,

ich denke, dass ich die Fragestellung nun auf einem anderen Wege lösen konnte. Ich zerlege zunächst das Ursprungsintegral in einzelne Terme:

S = \int \int Φ {- \frac{1}{2} \partial_{t}^{2} Φ + \frac{c_{0}^{2}}{2} Δ Φ + q} d^{3} \vec{x} d t

= \int \int (- \frac{1}{2} Φ \partial_{t}^{2} Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int (\frac{c_{0}^{2}}{2} \partial_{x}^{2} Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int (\frac{c_{0}^{2}}{2} \partial_{y}^{2} Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int (\frac{c_{0}^{2}}{2} \partial_{z}^{2} Φ) d^{3} \vec{x} d t + \int \int (Φ q) d^{3} \vec{x} d t

Danach kann ich mir jedes Integral einzeln vornehmen. Ich vertausche bei der Betrachtung des jeweiligen Integrals die Reihenfolge der Integration, da ich konstante Integrationsgrenzen annehme (fürs erste Integral erfolgt die erste Integration nach der Zeit, beim zweiten nach x, beim dritten nach y und beim vierten nach z; das 5. bleibt so wie es ist). Ich wähle für die partielle Integration stets

f = Φ

f' = \partial_{i} Φ

, wobei für i die jeweilige Integrationsvariable (1. t, 2. x, 3. y, 4. z) gewählt wird. Des Weiteren wird

g' = \partial_{i}^{2} Φ

und

g = \partial_{i} Φ

gewählt mit i wie oben. Bei der Betrachtung der Grenzen wird die Annahme getroffen, dass die Feldgröße

Φ

sowie deren jeweiligen Ableitungen beschränkt sind und somit im Grenzübergang zum Unendlichen verschwinden. Somit ergibt sich letztlich folgender Außdruck:

S = \int \int (\frac{1}{2} (\partial_{t} Φ)^{2} - \frac{c_{0}^{2}}{2} ((\partial_{x} Φ)^{2} + (\partial_{y} Φ)^{2} + (\partial_{z} Φ)^{2}) + Φ q) d^{3} \vec{x} d t

= \int \int (\frac{1}{2} (\partial_{t} Φ)^{2} - \frac{c_{0}^{2}}{2} (\sum_{i} (\partial_{i} Φ)^{2}) + Φ q d^{3} \vec{x} d t

Die Summe stellt im Prinzip das Skalarprodukt des Gradienten von

Φ

dar, was wahrscheinlich mit dem Ausdruck

(g r a d Φ)^{2}

in dem Ergebnis gemeint ist. Somit wäre der Rechenweg vom Ausgangsintegral zum Ergebnis beschritten.

Gruß,

n3c4z3

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