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Polynom 3.Grades ohne Polynomdivision lösen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Ausklammern, Polynom Grad, Polynomdivision

olya05 aktiv_icon

22:07 Uhr, 21.06.2014

Hallo, ich habe schon überall im Internet geschaut, finde jedoch nichts über dieses Thema.
Ich habe ein Polynom 3.Grades zb:

x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 = 0

Ziel ist es, die Nullstellen zu finden. Wie die Polynomdivision geht, ist mir natürlich klar.

Meine Frage ist, ob es einen Algorythmus gibt, mit dem man das Polynom so umschreiben kann:

(x - 2) \cdot (x^{2} + 1) = 0

Denn wenn man das macht, sind die Nullstellen offensichtlich und man umgeht die Polynomdivision.
hier dann:

x = 2, x = i, x = - i

Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich auf diese Klammer-Form kommen kann!!
Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Grenzwerte im Unendlichen
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

22:19 Uhr, 21.06.2014

Algorythmus ??? Diese Wort ist mir leider unbekannt

. .

.

Aber einen Tipp habe ich für Dich:
Schau GENAU hin, Du hast zweimal

(x - 2)

versteckt.

Nimm die ersten beiden Terme und klammere

x^{2}

aus

. .

.
Was erhälst Du ?

olya05 aktiv_icon

22:24 Uhr, 21.06.2014

Ich erhalte

x^{2} \cdot (x - 2) + (x - 2)

ja und das kann man weiter ausklammern zu

(x - 2) (x^{2} - 1)

Danke schön! das war ja sehr einfach!
funktioniert das immer???

Dukaros aktiv_icon

22:27 Uhr, 21.06.2014

Hallo,

ja es gibt noch eine wesentlich einfachere Lösung aber die geht nur bei ganzrationalen Funktionen die nicht gebrochen sind!

Google mal nach dem "Horner Schema" .. damit kannst ganz einfach (wenn du wie bei der Polynomdivision die Nullstelle kennst) die Funktion mit rausgezogener Nullstelle ermitteln.

Liebe Grüße

Ma-Ma aktiv_icon

22:29 Uhr, 21.06.2014

Schusselfehler beim nochmaligen Ausklammern

. .

x^{2} \cdot (x - 2) + (x - 2) = . .

- - - - - - - - - - - - - - - -

Das funktioniert nur, wenn der gegebene Term für dieses Vorgehen passt.
Für JEDEN beliebigen Term funktioniert dieser ALGORITHMUS nicht.

Atlantik aktiv_icon

15:09 Uhr, 13.09.2020

x^{3} - 2 x^{2} + x

−

2 = (x - N_{1}) \cdot (x - N_{2}) \cdot (x - N_{3}) =

= - x^{2} \cdot (N_{1} + N_{2} + N_{3}) + x \cdot (N_{1} \cdot N_{2} + N_{1} \cdot N_{3} + N_{2} \cdot N_{3}) - N_{1} \cdot N_{2} \cdot N_{3} + x^{3}

1 .) N_{1} + N_{2} + N_{3} = 2

2 .) N_{1} \cdot N_{2} + N_{1} \cdot N_{3} + N_{2} \cdot N_{3} = 1

N_{1} \cdot N_{2} \cdot N_{3} = 2

Nun

N_{1}, N_{2}

und

N_{3}

finden.

mfG

Atlantik

N8eule

19:49 Uhr, 13.09.2020

"funktioniert das immer"
nein - leider nicht.

Auch die von Dukaros beschriebene Methode "Horner-Schema" funktioniert nur, wenn du - wie schon von ihr angesprochen - die Nullstelle schon kennst.

Der Kern deiner Frage konnte aber eigentlich zweiteilig verstanden werden.

a)

Du solltest erkennen und verstehen, dass zur Faktorisierung des Polynoms gerade die Kenntnis einer Nullstelle erforderlich ist.
Wenn du erst mal eine Nullstelle

x_{0}

kennst, dann kannst du durch

>

Polynomdivision

>

Hornerschema

>

oder einer Methode deiner Vorliebe
die Faktorisierung ausführen.

(a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} +

+ d) : (x - x_{0}) = (a \cdot x^{2} + e \cdot x + f)

(a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} +

+ d) = (x - x_{0}) \cdot (a \cdot x^{2} + e \cdot x + f)

b)

Es gibt ein geschlossenes Verfahren, um bei Polynomen bis zum Grad 4 die Nullstellen explizit zu errechnen. Siehe dazu unter:
de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Da dies aber doch schon ein wenig umfangreicher gewöhnungsbedürftig ist, wird es in den meisten Schulen ein wenig stiefmütterlich abwertend behandelt.

Für den Schulgebrauch gilt viel mehr:
Die typischen Prüfungsaufgaben sind schon so hergerichtet und Prüfungs- und Korrektur-gerecht vorbereitet, dass da eigentlich immer eine triviale Lösung vor die Füße pollert.
In deinem Beispiel oben eben wie schon empfohlen ein geübter Blick und Erkennen eines wiederholenden Musters.
Ersatzweise wird meist empfohlen: Einfach die trivialen Ganzzahlen
typ.:

- 2; - 1; 0; 1; 2; 3

mal durchprobieren,
oder im GTR mal den Kurvenverlauf plotten und eine Nullstelle schätzen,
das sollten zumutbare Routine-Vorgehensweisen sein.
:-)

- - - - - - - - - - - -

PS:

. .

. ach Gott, das ist ja uralt.
Was hat denn Atlantik da archäologisch ausgegraben...

Roman-22

19:59 Uhr, 13.09.2020

>

Was hat denn Atlantik da archäologisch ausgegraben...
:-)
Wir wollen hoffen, dass olya05 ihr Studium mittlerweile erfolgreich abgeschlossen hat.

Es ist das nicht die erste Leiche, die der große Atlantik in letzter Zeit an Land gespült hat.
Der Drang, nach Aufgaben zu suchen, die er vorrechnen kann, scheint ihn überwältigt zu haben.

mquasten aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.09.2020

Wenn man Polynomdivision etc. nicht mag und nicht num. lösen will oder darf, dann bietet sich gerade bei Polynomen 3. Grades folgender Ansatz an (wenn eine NS bekannt ist):

x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 = (x - 2) (x^{2}

+ax

+ b)

ausmultiplizieren ergibt:

x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 = x^{3} + (a - 2) x^{2} + (b - 2 a) \cdot x - 2 b

Koeffizientenvergleich:

x^{3} : 1 = 1

x^{2} : - 2 = a - 2

x : 1 = b - 2 a

1 : - 2 = - 2 b

a = 0

b = 1

damit bleibt das Polynom 2. Grades

x^{2} + 1 = 0

mit den Lösungen

x = \pm j

Alles sowieso Geschmackssache aber was manuelle Rechnerei und merken nutzloser Dinge
wie Formeln für NS von Polynomen 3.Grades angeht für mich durchaus eine Alternative.

Ein Polynom 3. Grades hat immer mindestens eine reele NS, die findet man mit Newton oder Bi-Selektionsverfahren und dann kann man diesen Ansatz machen. Wobei Tools dann vermutlich sowieso auch gleich alle NS ausgeben.

Matlab oder octave :

roots(

[

1,-2,1,-2])

ans =

2.0000 + 0 i

- 0.0000 + 1.0000 i

- 0.0000 - 1.0000 i

in dem Aufruf stehen die Polynomkoeffizienten.

olya05 aktiv_icon

13:15 Uhr, 14.09.2020

Oh, nun sind es ja 6 Jahre her seit ich die Frage gestellt habe. Das Studium ist beendet und Polynomdivision wird nicht mehr gebraucht

1512015

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