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Polynomdivision mit einer Komplexen Nullstelle

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

anonymous

14:07 Uhr, 18.02.2007

Hallo,

ich habe iéin kleines Problem. Und zwar ist dieses Problem im Rahmen einer Aufgabe aufgetretten.

Gegeben ist die Gleichung

x^4 - 4x^3 + 18x^2 - 20x + 65 = 0

Und die Nullstelle: 2+3i

Beides in der Aufgabenstellung gegeben.

Es sollen die weiteren Nullstellen berechnet werden(von Hand).

Mein Problem liegt daran das ich die Polynomdivision anwenden wollte aber nicht weis wie ich die Gleichung durch eine Komplexe Nullstelle teilen kann. Bzw. weis ich noch nicht einmal wie ich die Komplexe Nullstelln in die Form (x+...) bringen kann.

Vielleicht kann mir jemand helfen bzw. mir einen kleinen denkanstoss geben.

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Paulus

15:40 Uhr, 18.02.2007

Hallo Adam

wenn ein Polynom reelle Koeffizienten hat, dann ist von einer Nullstelle auch deren konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle.

Darum ist auch 2-3i eine Nullstelle.

(x-(2+3i))*(x-(2-3i)) = x²-4x+13

Du solltest also dein Polynom durch x²-4x+13 dividieren.

Ich bekomme dann x²+5

Damit sind die Nullstellen:

2+3i

2-3i

Wurzel(5)i

-Wurzel(5)i

Alles klar?

Gruss

Paul

anonymous

21:06 Uhr, 20.02.2007

Danke dir Paul,

hast mich um einiges weiter gebracht.

Kreini333 aktiv_icon

14:15 Uhr, 23.08.2009

Hallo!

Gerade habe ich diesen Uraltthread ausgegraben um mir anhand der gestellten Aufgabe ein Lösungsschema zu erarbeiten. Dabei traf ich auf folgendes Problem:

Bei der Multiplikation der beiden Linearfaktoren

x - (2 + 3 i)

und

x - (2 - 3 i)

bekomme ich als Lösung

13 x^{2}

. Dies stimmt nicht mit der vorgeschlagenen Lösung überein und auch die dannach angewendete Polynomendivision kann ich mit diesem Wert nicht ausführen... Was ist zu tun???

Ich danke euch für eure Hilfe.

Mit freundlichem Gruß

Kreini333

HP7289 aktiv_icon

14:40 Uhr, 23.08.2009

(x - (2 + 3 i)) \cdot (x - (2 - 3 i)

= (x - 2 - 3 i) \cdot (x - 2 + 3 i)

= ((x - 2) - 3 i) \cdot ((x - 2) + 3 i)

= {(x - 2)}^{2} - {(3 i)}^{2}

= (x^{2} - 4 x + 4) - (- 9)

= x^{2} - 4 x + 13

Kreini333 aktiv_icon

15:20 Uhr, 23.08.2009

Hey! Vielen Dank!

Vielen dank für die ausführliche Korrektur.
So wäre ich nicht vorgegangen, ich habe das

x

mit der Klammer multipliziert...
Dennoch bleibt mir eine Frage:
Mit meinem Taschenrechner, welcher komplexe Zahlen berechnen kann, habe ich diese Multiplikation durchgeführt und für

x

einen beliebigen Wert angenommen. Bei der eingabe von

x = 5

kam

325

heraus. Berechne ich nun

13 \cdot 5^{2}

kommt ebenfalls

325

heraus, was mein Ergebnis doch eigendlich bestätigen würde.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wo mein Fehler liegt?

Ich danke Euch für Eure Hilfe.

Mit freundlichem Gruß

Kreini333

HP7289 aktiv_icon

15:23 Uhr, 23.08.2009

Zeig mir mal deinen Rechenweg. Sonst kann ich deinen Fehler nicht finden.

Kreini333 aktiv_icon

15:29 Uhr, 23.08.2009

x - (2 + 3 i) \cdot x - (2 - 3 i)

= x (- 2 - 3 i) \cdot x (- 2 + 3 i)

= (- 2 x - 3 ξ) \cdot (- 2 x + 3 ξ)

=4x^2-6ix^2+6ix^2-9i^2*x^2

= 3 x^{2} + 9 x^{2}

= 13 x^{2}

???

HP7289 aktiv_icon

15:31 Uhr, 23.08.2009

Du musst die Linearfaktoren in Klammern setzen. Deine erste Zeile müsste so aussehen:

(x - (2 + 3 i)) \cdot (x - (2 - 3 i))

Kreini333 aktiv_icon

15:39 Uhr, 23.08.2009

Aaaah... Jetzt ist mir das klar geworden!

Vieeelen Dank! Da wäre ich so nicht drauf gekommen!!!

Und das mit dem Taschenrechner? War das Zufall?

Ich danke Ihnen! Einen schönen Sonntag noch.

Mit freundlichem Gruß

Kreini333

HP7289 aktiv_icon

15:42 Uhr, 23.08.2009

Das mit dem Taschenrechner war ein Eingabefehler von dir.

Falsche Eingabe

\to

falsches Ergebnis.

(5 - (2 + 3 i)) \cdot (5 - (2 - 3 i))

= (3 - 3 i) \cdot (3 + 3 i)

= 3^{2} - {(3 i)}^{2}

= 9 - (- 9)

= 18

Kreini333 aktiv_icon

15:46 Uhr, 23.08.2009

Uff... Hartes Schicksal

\cdot g \cdot

Jetzt kann ich beruhigt weiterarbeiten!
Sie waren mir wirklich eine unendlich große Hilfe und haben mir sehr weitergeholfen.
Vielen Dank!!!

HP7289 aktiv_icon

15:47 Uhr, 23.08.2009

Keine Ursache. :-)

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